Skip to main content

Теория: 13 Применение свойств корня \(\displaystyle n\)-й степени для упрощения выражений (выделение полного квадрата иррационального выражения)

Задание

Упростите выражение:

\(\displaystyle \frac{\sqrt[3\,]{b^{\,2}}+6\sqrt[3\,]{b}+9}{\sqrt[3\,]{b}+3}=\)
\sqrt[3 ] {b}+3
 
Решение

Разложим на множители числитель дроби.

Получим:

\(\displaystyle \frac{ \sqrt[3\, ] {b^2} +6\sqrt[3\, ] {b}+9}{\sqrt[3\, ] {b}+3 }=\frac{\left( \sqrt[3\, ] {b}+3 \right)^2}{\sqrt[3\, ] {b}+3 } {\small.}\)

Сократим полученную дробь на общий множитель \(\displaystyle \left( \sqrt[3\,]{b}+3 \right){\small :}\)

\(\displaystyle \frac{\left(\sqrt[3\,]{b}+3 \right)^{2}}{\sqrt[3\,]{b}+3}=\frac{\cancel{\left(\sqrt[3\,]{b}+3 \right)}\left(\sqrt[3\,]{b}+3 \right)}{\cancel{\sqrt[3\,]{b}+3}}=\sqrt[3\,]{b}+3{\small .}\)

Таким образом, имеем следующую цепочку равенств:

\(\displaystyle \color{purple}{\frac{\sqrt[3\,] {b^{\,2}}+6\sqrt[3\,]{b}+9}{\sqrt[3\,]{b}+3}=\frac{\left(\sqrt[3\,]{b}+3 \right)^{2}}{\sqrt[3\,]{b}+3}=\sqrt[3\,]{b}+3 } {\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \sqrt[3\,]{b}+3 {\small.}\)