Известно, что в геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_6 = -7{\small .}\)
Найти
Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)
\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=l+k{\small .}\)
Запишем номера элементов в произведении \(\displaystyle b_{2}\cdot b_{10}\) через номер \(\displaystyle b_6:\)
\(\displaystyle b_{2}\cdot b_{10}=b_{\color{red}{6}-\color{blue}{4}}\cdot b_{\color{red}{6}+\color{blue}{4}}{\small .}\)
Тогда, по обобщенному характеристическому свойству геометрической прогрессии,
\(\displaystyle b_{\color{red}{6}-\color{blue}{4}}\cdot b_{\color{red}{6}+\color{blue}{4}}=b_{\color{red}{ 6}}^2{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle b_{2}\cdot b_{10}=b_{6}^2{\small .}\)
Так как по условию \(\displaystyle b_{6} = -7{\small ,}\) то получаем:
\(\displaystyle b_{2} \cdot b_{10} = (-7)^2{\small ,}\)
\(\displaystyle b_{2} \cdot b_{10} = 49{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 49{\small .}\)