Известно, что в геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_3 \cdot b_4= 4{\small .}\)
Найти
Решение 1.
Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)
\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=l+k{\small .}\)
Согласно обобщенному характеристическому свойству арифметической прогрессии,
\(\displaystyle \color{blue}{ b_{1} \cdot b_{5}} = \color{blue}{ b_{3}^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{ b_{2} \cdot b_{6}} = \color{green}{ b_{4}^2}{\small .}\)
Тогда, группируя слагаемые в исходном равенстве, получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{ b_{1}} \cdot \color{green}{ b_{2}}\cdot\color{blue}{ b_{5}}\cdot\color{green}{ b_{6}}= (\color{blue}{ b_{1} \cdot b_{5}})\cdot(\color{green}{ b_{2}\cdot b_{6}})=\color{blue}{ b_{3}^2}\cdot\color{green}{ b_{4}^2}=(b_{3}\cdot b_{4})^2{ \small .}\)
Значит, так как по условию \(\displaystyle b_{3}\cdot b_{4}=4{ \small ,} \) то
\(\displaystyle b_{1} \cdot b_{2}\cdot b_{5} \cdot b_{6} = 4^2=16{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 16{\small .}\)
Решение 2.
Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)
\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=l+k{\small .}\)
Согласно второму обобщенному характеристическому свойству арифметической прогрессии,
\(\displaystyle \color{blue}{ b_{1} \cdot b_{6}} = \color{blue}{ b_{3}\cdot b_{4}}\) и \(\displaystyle \color{green}{ b_{2} \cdot b_{5}} = \color{green}{ b_{3}\cdot b_{4}}{\small .}\)
Тогда, группируя слагаемые в исходном равенстве, получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{ b_{1}} \cdot \color{green}{ b_{2}}\cdot \color{green}{ b_{5}}\cdot \color{blue}{ b_{6}}= (\color{blue}{ b_{1} \cdot b_{6}})\cdot (\color{green}{ b_{2} \cdot b_{5}})=(\color{blue}{ b_{3}\cdot b_{4}})\cdot (\color{green}{ b_{3}\cdot b_{4}})=(b_{3}\cdot b_{4})^2{ \small .}\)
Значит, так как по условию \(\displaystyle b_{3}\cdot b_{4}=4{ \small ,} \) то
\(\displaystyle b_{1} \cdot b_{2} \cdot b_{5} \cdot b_{6} = 4^2=16{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 16{\small .}\)