Известно, что в геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_2 = 3{\small .}\)
Найти произведение \(\displaystyle P_3\) первых трех членов данной прогрессии.
Решение 1.
Найдем произведение
\(\displaystyle P_3=b_1\cdot b_2\cdot b_3{ \small ,} \)
используя характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)
\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=l+k{\small .}\)
Согласно этому свойству,
\(\displaystyle b_1 \cdot b_3 = b_2^2{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle P_3 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 =b_2 \cdot (b_1 \cdot b_3)= b_2 \cdot b_2^2 = b_2^3{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_3 = 3^3{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_3 = 27{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 27{\small .}\)
Решение 2.
Перепишем данное произведение \(\displaystyle P_3=b_1\cdot b_2\cdot b_3 \) через \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{\small .} \)
Так как
\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q \) и \(\displaystyle b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,} \)
то получаем:
\(\displaystyle P_3=b_1\cdot b_2\cdot b_3=b_1\cdot (b_1\cdot q)\cdot (b_1\cdot q^2)=b_1^3\cdot q^3=(b_1\cdot q)^3{ \small .} \)
Поскольку по условию \(\displaystyle b_2=3\) и \(\displaystyle b_2=b_1\cdot q{ \small ,} \) то
\(\displaystyle P_3= (b_1\cdot q)^3=b_2^3{ \small ,} \)
\(\displaystyle P_3=3^3=27{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 27{\small .}\)