Известно, что в геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_3 = 3{\small .}\)
Найти
Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)
\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=l+k{\small .}\)
Запишем номера элементов в произведении \(\displaystyle b_{1}\cdot b_{5}\) через номер \(\displaystyle b_3:\)
\(\displaystyle b_{1}\cdot b_{5}=b_{\color{red}{3}-\color{blue}{2}}\cdot b_{\color{red}{3}+\color{blue}{2}}{\small .}\)
Тогда, по обобщенному характеристическому свойству геометрической прогрессии,
\(\displaystyle b_{\color{red}{3}-\color{blue}{2}}\cdot b_{\color{red}{3}+\color{blue}{2}}=b_{\color{red}{ 3}}^2{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle b_{1}\cdot b_{5}=b_{3}^2{\small .}\)
Так как по условию \(\displaystyle b_{3} = 3{\small ,}\) то получаем:
\(\displaystyle b_{1} \cdot b_{5} = 3^2{\small ,}\)
\(\displaystyle b_{1} \cdot b_{5} = 9{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 9{\small .}\)