Известно, что в геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_5 = 2{\small .}\)
Найти
Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)
\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=l+k{\small .}\)
Согласно обобщенному характеристическому свойству геометрической прогрессии,
\(\displaystyle \color{blue}{ b_{3} \cdot b_{7}} = \color{blue}{ b_{5}^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{ b_{4} \cdot b_{6}} = \color{green}{ b_{5}^2}{\small .}\)
Тогда, группируя слагаемые в исходном равенстве, получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{ b_{3}} \cdot \color{green}{ b_{4}}\cdot \color{green}{ b_{6}}\cdot \color{blue}{ b_{7}}= (\color{blue}{ b_{3} \cdot b_{7}})\cdot (\color{green}{ b_{4} \cdot b_{6}})=\color{blue}{ b_{5}^2}\cdot \color{green}{ b_{5}^2}=b_{5}^4{ \small .}\)
Значит, так как по условию \(\displaystyle b_{5}=2{ \small ,} \) то
\(\displaystyle b_{3} \cdot b_{4} \cdot b_{6}\cdot b_{7} = 2^4=16{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 16{\small .}\)