Случайная величина принимает значения \(\displaystyle 0,\,\,1,\,\,4\small.\)
Ее распределение задано соотношением
\(\displaystyle P(X=x)=\frac{1}{x+2}\small.\)
Найдите стандартное отклонение \(\displaystyle \sigma(X)\small.\)
Шаг 1. Найдем вероятности, с которыми \(\displaystyle X\) принимает то или иное значение. Результат представим в виде таблицы:
| Значение \(\displaystyle X\) | Вероятность |
| \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \frac{1}{0+2}=\frac{1}{2}\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle \frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}\) |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle \frac{1}{4+2}=\frac{1}{6}\) |
Шаг 2. Опираясь на таблицу с распределением \(\displaystyle X{ \small ,}\) вычислим математическое ожидание.
Математическое ожидание дискретной случайной величины \(\displaystyle X\) – сумма произведений значений на вероятности, равно:
\(\displaystyle E(X)=0\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{1}{3}+4\cdot\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1\small.\)
Шаг 3. Найдем стандартное отклонение.
Стандартное отклонение
Стандартным отклонением случайной величины \(\displaystyle X\) называется корень из дисперсии
\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{D(X)}\small.\)
Тогда сначала вычислим дисперсию.
Зная математическое ожидание, найдем квадраты отклонений:
| Значение \(\displaystyle X\) \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-E(X))\) | Квадрат отклонения | Вероятность \(\displaystyle P(X=x)\) |
| \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 0-1=-1\) | \(\displaystyle (-1)^2=1\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1-1=0\) | \(\displaystyle 0^2=0\) | \(\displaystyle \frac{1}{3}\) |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 4-1=3\) | \(\displaystyle 3^2=9\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) |
Складывая произведения значений в третьем и четвертых столбцах, найдем дисперсию:
\(\displaystyle D(X)=1\cdot\frac{1}{2}+0\cdot\frac{1}{3}+9\cdot\frac{1}{6}=2\small.\)
Тогда стандартное отклонение равно корню из дисперсии:
\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{2}.\)