Задание
Случайная величина \(\displaystyle X\) имеет распределение
Распределение \(\displaystyle X\)
| Значение \(\displaystyle X\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) |
| Вероятность | \(\displaystyle 0{,}1\) | \(\displaystyle 0{,}2\) | \(\displaystyle 0{,}4\) | \(\displaystyle 0{,}2\) | \(\displaystyle 0{,}1\) |
Найдите
- математическое ожидание \(\displaystyle E(X)\small;\)
- стандартное отклонение \(\displaystyle \sigma(X)\small.\)
\(\displaystyle E(X)=\)
;
\(\displaystyle \sigma(X)=\)
.
Решение
Шаг 1. Сначала найдем математическое ожидание.
\(\displaystyle E(X)=3\)
Шаг 2. Теперь, зная математическое ожидание, найдем стандартное отклонение.
\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{1{,}2}\)
Вычислим дисперсию.
Зная математическое ожидание, найдем квадраты отклонений:
| Значение \(\displaystyle X\) \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-E(X))\) | Квадрат отклонения | Вероятность \(\displaystyle P(X=x)\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1-3=-2\) | \(\displaystyle (-2)^2=4\) | \(\displaystyle 0{,}1\) |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 2-3=-1\) | \(\displaystyle (-1)^2=1\) | \(\displaystyle 0{,}2\) |
| \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 3-3=0\) | \(\displaystyle 0^2=0\) | \(\displaystyle 0{,}4\) |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 4-3=1\) | \(\displaystyle 1^2=1\) | \(\displaystyle 0{,}2\) |
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 5-3=2\) | \(\displaystyle 2^2=4\) | \(\displaystyle 0{,}1\) |
Складывая произведения значений в третьем и четвертых столбцах, найдем дисперсию:
\(\displaystyle D(X)=4\cdot0{,}1+1\cdot0{,}2+0\cdot0{,}4+1\cdot0{,}2+4\cdot0{,}1=1{,}2\small.\)
Тогда стандартное отклонение, равное корню из дисперсии:
\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{1{,}2}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle E(X)=3\small;\)\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{1{,}2} \small.\)