Случайная величина \(\displaystyle X\) имеет распределение
Распределение \(\displaystyle X\)
| Значение \(\displaystyle X\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) |
| Вероятность | \(\displaystyle 0{,}1\) | \(\displaystyle 0{,}2\) | \(\displaystyle 0{,}4\) | \(\displaystyle 0{,}2\) | \(\displaystyle 0{,}1\) |
Известны математическое ожидание \(\displaystyle E(X)=3\) и дисперсия \(\displaystyle D(X)=1{,}2 \small.\)
Найдите вероятность того, что случайная величина примет значение, отличающееся от \(\displaystyle E(X)\) менее чем на \(\displaystyle \sigma (X)\small.\)
По условию математическое ожидание и дисперсия \(\displaystyle X\) равны \(\displaystyle E(X)=3\) и \(\displaystyle D(X)=1{,}2 \small.\)
Шаг 1. Найдём стандартное отклонение, равное корню из дисперсии:
\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{1{,}2}\small.\)
Шаг 2. Найдём, какие значения \(\displaystyle X\) отличаются от \(\displaystyle E(X)\) менее чем на \(\displaystyle \sigma (X)\small.\)
Случайная величина \(\displaystyle X\) принимает значения \(\displaystyle 1,\,\,2,\,\,3,\,\,4,\,\,5\small.\)
Определим, какие из этих значений отличаются от \(\displaystyle E\) менее чем на \(\displaystyle \sigma(X)\small.\)
То есть для каких \(\displaystyle X \) выполняется
\(\displaystyle E-\sigma<X<E+\sigma \small.\)
Математическое ожидание \(\displaystyle E(X)=3\small.\)
Стандартное отклонение \(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{1{,}2}\) – число, находящееся в интервале \(\displaystyle (1;\,2)\small.\)
\(\displaystyle 1<\sigma(X)=\sqrt{1{,}2}<2\small.\)
Так как \(\displaystyle E=3{ \small ,} \) то
\(\displaystyle 1<E-\sigma<2\) и \(\displaystyle 4<E+\sigma<5 \small.\)
Получаем:
\(\displaystyle 1<E-\sigma<X<E+\sigma<5 \)
или
\(\displaystyle 1<X<5{ \small .} \)
Значит, подходят значения
\(\displaystyle X=2,\,\,3,\,\,4\small.\)
Шаг 3. Вычислим \(\displaystyle P(E-\sigma<X<E+\sigma){ \small .}\)
Вероятность того, что \(\displaystyle X\) принимает значение \(\displaystyle 2,\,3,\,4{ \small ,}\) равна
\(\displaystyle P(X=2,\,3,\,4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0{,}2+0{,}4+0{,}2=0{,}8\small.\)
При этом
\(\displaystyle P(E-\sigma<X<E+\sigma)=P(X=2,\,3,\,4)=0{,}8\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}8\small.\)