Батарейки выпускаются партиями по 100 штук. Каждая партия проходит проверку и бракованные батарейки изымаются.
Случайная величина \(\displaystyle X\) – количество бракованных батареек в партии. Ниже приведено распределение вероятности \(\displaystyle X{\small:}\)
Распределение \(\displaystyle X\)
| Значение \(\displaystyle X\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle >5\) |
| Вероятность | \(\displaystyle 0{,}58\) | \(\displaystyle k\) | \(\displaystyle 0{,}15\) | \(\displaystyle 0{,}03\) | \(\displaystyle 0{,}01\) | \(\displaystyle 0{,}01\) | \(\displaystyle 0{,}00\) |
Найдите:
- \(\displaystyle k\small;\)
- математическое ожидание \(\displaystyle X\small;\)
- дисперсию\(\displaystyle X\small.\)
Шаг 1. Найдём \(\displaystyle k\small.\)
Напомним, что для дискретной случайной величины сумма всех вероятностей
\(\displaystyle p_1+p_2+\ldots+p_n=1\small.\)
Сложим все вероятности из таблицы распределения, получаем:
\(\displaystyle 0{,}58+k+0{,}15+0{,}03+0{,}01+0{,}01+0{,}00=1\small.\)
Откуда находим \(\displaystyle k\small:\)
\(\displaystyle 0{,}78+k=1\small,\)
\(\displaystyle k=1-0{,}78=0{,}22\small.\)
Шаг 2. Найдём математическое ожидание \(\displaystyle X\small.\)
Все значения, которые случайная величина \(\displaystyle X\) принимает с ненулевой вероятностью:
| Значение \(\displaystyle X\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) |
| Вероятность | \(\displaystyle 0{,}58\) | \(\displaystyle 0{,}22\) | \(\displaystyle 0{,}15\) | \(\displaystyle 0{,}03\) | \(\displaystyle 0{,}01\) | \(\displaystyle 0{,}01\) |
Тогда математическое ожидание \(\displaystyle X\) – сумма произведений значений на вероятности, равно:
\(\displaystyle E(X)=0\cdot0{,}58+1\cdot0{,}22+2\cdot0{,}15+3\cdot0{,}03+4\cdot0{,}01+5\cdot0{,}01=0{,}7\small.\)
Шаг 3. Найдем дисперсию.
Зная математическое ожидание, найдем квадраты отклонений:
| Значение \(\displaystyle X\) \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-E(X))\) | Квадрат отклонения | Вероятность \(\displaystyle P(X=x)\) |
| \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 0-0{,}7=-0{,}7\) | \(\displaystyle (-0{,}7)^2=0{,}49\) | \(\displaystyle 0{,}58\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1-0{,}7=0{,}3\) | \(\displaystyle 0{,}3^2=0{,}09\) | \(\displaystyle 0{,}22\) |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 2-0{,}7=1{,}3\) | \(\displaystyle 1{,}3^2=1{,}69\) | \(\displaystyle 0{,}15\) |
| \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 3-0{,}7=2{,}3\) | \(\displaystyle 2{,}3^2=5{,}29\) | \(\displaystyle 0{,}03\) |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 4-0{,}7=3{,}3\) | \(\displaystyle 3{,}3^2=10{,}89\) | \(\displaystyle 0{,}01\) |
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 5-0{,}7=4{,}3\) | \(\displaystyle 4{,}3^2=18{,}49\) | \(\displaystyle 0{,}01\) |
Складывая произведения значений в третьем и четвертых столбцах, найдем дисперсию:
\(\displaystyle D(X)=\)
\(\displaystyle =0{,}49\cdot0{,}58+0{,}09\cdot0{,}22+1{,}69\cdot0{,}15+5{,}29\cdot0{,}03+10{,}89\cdot0{,}01+18{,}49\cdot0{,}01=1{,}01\small.\)
Ответ: \(\displaystyle k=0{,}22\small;\) \(\displaystyle E(X)=0{,}7\small;\) \(\displaystyle D(X)=1{,}01\small.\)