Известно, что в геометрической прогрессии \(\displaystyle b_3 = 3{ \small ,}\) \(\displaystyle b_7 = 48{\small .}\) Найдите \(\displaystyle b_1 {\small .}\) Если вариантов несколько – запишите в ответ наименьшее из найденных чисел.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
Запишем \(\displaystyle b_3 \) и \(\displaystyle b_7{\small : } \)
\(\displaystyle b_3 = b_1 \cdot q^2\) и \(\displaystyle b_7 = b_1 \cdot q^6{\small .}\)
Так как \(\displaystyle b_3=3\) и \(\displaystyle b_7=48{ \small ,} \) то получаем систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}b_1 \cdot q^2&= 3{ \small ,}\\b_1 \cdot q^6&=48{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим систему методом подстановки.
При \(\displaystyle q=0\) первое уравнение, а, значит, и система, решений не имеет.
Тогда, разделив обе части первого уравнения на \(\displaystyle q^2\,\cancel{=}\,0{\small,}\) выразим \(\displaystyle b_1\) из первого уравнения:
\(\displaystyle b_1 \cdot q^2= 3{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 3}{ q^2 }{ \small .} \)
Подставляя полученное выражение вместо \(\displaystyle b_1\) во второе уравнение системы, получаем:
\(\displaystyle b_1 \cdot q^6=48{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{ 3}{ q^2 }\cdot q^6=48{ \small ,} \)
\(\displaystyle 3q^4=48{ \small ,} \)
\(\displaystyle q^4=16{ \small ,} \)
\(\displaystyle q=2 \) или \(\displaystyle q=-2{\small .} \)
Если \(\displaystyle q=2{\small ,} \) то
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 3}{ q^2 }{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 3}{ 2^2 }=0{,}75{ \small .} \)
Если \(\displaystyle q=-2{\small ,} \) то
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 3}{ q^2 }{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 3}{ (-2)^2 }=0{,}75{ \small .} \)
В обоих случаях получилось \(\displaystyle b_1 =0{,}75{ \small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}75{\small .}\)