В геометрической прогрессии произведение первых трех членов равно \(\displaystyle 1728\small,\)а их сумма равна \(\displaystyle 63\small.\) Найдите \(\displaystyle b_4\small.\)
(Если ответов несколько, укажите наименьший из них.)
По условию, произведение первых трех членов равно \(\displaystyle 1728\small,\) а сумма равна \(\displaystyle 63{\small:}\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}b_1\cdot b_2\cdot b_3&= 1728{ \small ,}\\b_1+b_2+b_3&=63{\small .}\end{aligned}\right.\)
По формуле n-го члена геометрической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
Запишем \(\displaystyle b_2\small,\) \(\displaystyle b_3{\small : } \)
\(\displaystyle b_2 = b_1 \cdot q\) и \(\displaystyle b_3 = b_1 \cdot q^2{\small .}\)
Подставляя в систему, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}b_1\cdot (b_1\cdot q)\cdot (b_1\cdot q^2)&= 1728{ \small ,}\\b_1+b_1\cdot q+b_1\cdot q^2&=63{\small .}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle b_4=b_1\cdot q^3=3\cdot 4^3=192\small.\)
Меньший из возможных ответов \(\displaystyle b_4=0{,}75\small.\)
Ответ: \(\displaystyle b_4=0{,}75\small.\)