Второй член геометрической прогрессии равен \(\displaystyle 6\small.\) Сумма третьего и четвертого членов равна \(\displaystyle 72\small.\)
Чему равен знаменатель данной геометрической прогрессии?
(Если ответов несколько, укажите наименьший из них.)
По условию, второй член прогрессии равен \(\displaystyle 6\small,\) а сумма третьего и четвертого равна \(\displaystyle 72{\small:}\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}b_2&= 6{ \small ,}\\b_3+b_4&=72{\small .}\end{aligned}\right.\)
По формуле n-го члена геометрической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
Запишем \(\displaystyle b_2\small,\) \(\displaystyle b_3 \) и \(\displaystyle b_4{\small : } \)
\(\displaystyle b_2 = b_1 \cdot q\small,\) \(\displaystyle b_3 = b_1 \cdot q^2\) и \(\displaystyle b_4 = b_1 \cdot q^3{\small .}\)
Подставляя в систему, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}b_1\cdot q&= 6{ \small ,}\\b_1\cdot q^2+b_1\cdot q^3&=72{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим систему методом подстановки.
При \(\displaystyle q=0\) первое уравнение, а, значит, и система, решений не имеет.
Тогда, разделив обе части первого уравнения на \(\displaystyle q\,\cancel{=}\,0{\small,}\) выразим \(\displaystyle b_1\) из первого уравнения:
\(\displaystyle b_1 \cdot q= 6{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 6}{ q}{ \small .} \)
Подставляя во второе уравнение системы, получаем:
\(\displaystyle b_1\cdot q^2+b_1\cdot q^3=72{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{ 6}{ q}\cdot q^2+ \frac{ 6}{ q}\cdot q^3=72{ \small ,} \)
\(\displaystyle 6q+6q^2=72{ \small ,} \)
\(\displaystyle q^2+q-12=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle (q+4)(q-3)=0\small,\)
\(\displaystyle q=-4 \) или \(\displaystyle q=3{\small .} \)
Если \(\displaystyle q=-4{\small ,} \) то
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 6}{ q}{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_1 = \frac{6}{ -4 }=-1{,}5{ \small .} \)
Если \(\displaystyle q=3{\small ,} \) то
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 6}{ q}{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 6}{ 3 }=2{ \small .} \)
Меньший из возможных знаменателей \(\displaystyle q=-4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle q=-4\small.\)