Известно, что в геометрической прогрессии \(\displaystyle b_3 = 2{ \small ,}\) \(\displaystyle b_6 = 0{,}25{\small .}\) Под каким номером в этой прогрессии идет число \(\displaystyle \frac{1}{64}{\small ?}\) Если такого номера не существует, то оставьте ячейку ввода пустой.
Сначала найдем \(\displaystyle b_1\) и \(\displaystyle q\small,\) составив систему уравнений.
Затем выясним, под каким номером в этой прогрессии идет число \(\displaystyle \frac{1}{64}{\small .}\)
Воспользуемся формулой для n-го члена геометрической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
и запишем \(\displaystyle b_{3} \) и \(\displaystyle b_{6}{\small : } \)
\(\displaystyle b_{3} = b_1 \cdot q^{2}\) и \(\displaystyle b_{6} = b_1 \cdot q^{5}{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_{3}=2\) и \(\displaystyle b_{6}= 0{,}25{ \small ,} \) то, подставляя, получаем систему уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} b_1 \cdot q^{2}&=2{ \small ,}\\b_1 \cdot q^{5}&= 0{,}25{\small .}\end{aligned}\right.\)
Пусть число \(\displaystyle n\) таково, что \(\displaystyle b_n = \frac{ 1}{ 64 }{\small .}\)
Тогда, поскольку \(\displaystyle b_1=8\) и \(\displaystyle q= 0{,}5{ \small ,}\) то по формуле n-го члена геометрической прогрессии получаем:
\(\displaystyle \frac{ 1}{ 64 } = 8\cdot 0{,}5^{n-1}{ \small ,}\)
\(\displaystyle 0{,}5^{n-1}=\frac{ 1}{ 64\cdot8 }{ \small ,}\)
\(\displaystyle 0{,}5^{n-1}=\frac{ 1}{ 2^9}{ \small ,}\)
\(\displaystyle 0{,}5^{n-1}=\left(\frac{ 1}{ 2}\right)^9{ \small ,}\)
\(\displaystyle 0{,}5^{n-1}=0{,}5^9{ \small ,}\)
\(\displaystyle n - 1 = 9{ \small ,}\)
\(\displaystyle n = 10{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle n = 10{\small .}\)