В геометрической прогрессии произведение первых трех членов равно \(\displaystyle 1728\small,\)а их сумма равна \(\displaystyle 63\small.\) Найдите первый член прогрессии.
(Если ответов несколько, укажите наименьший из них.)
По условию, произведение первых трех членов равно \(\displaystyle 1728\small,\) а сумма равна \(\displaystyle 63{\small:}\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}b_1\cdot b_2\cdot b_3&= 1728{ \small ,}\\b_1+b_2+b_3&=63{\small .}\end{aligned}\right.\)
По формуле n-го члена геометрической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
Запишем \(\displaystyle b_2\small,\) \(\displaystyle b_3{\small : } \)
\(\displaystyle b_2 = b_1 \cdot q\) и \(\displaystyle b_3 = b_1 \cdot q^2{\small .}\)
Подставляя в систему, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}b_1\cdot (b_1\cdot q)\cdot (b_1\cdot q^2)&= 1728{ \small ,}\\b_1+b_1\cdot q+b_1\cdot q^2&=63{\small .}\end{aligned}\right.\)
Упростим первое уравнение:
\(\displaystyle b_1\cdot (b_1\cdot q)\cdot (b_1\cdot q^2)= 1728\small,\)
\(\displaystyle b_1^3\cdot q^3= 1728\small,\)
\(\displaystyle (b_1 \cdot q)^3= 1728\small,\)
\(\displaystyle b_1\cdot q=12\small.\)
Теперь решим систему методом подстановки.
При \(\displaystyle q=0\) уравнение \(\displaystyle b_1\cdot q=12\small,\) а, значит, и система, решений не имеет.
Тогда, учитывая, что \(\displaystyle q\,\cancel{=}\,0{\small,}\) выразим \(\displaystyle b_1\) из этого уравнения:
\(\displaystyle b_1=\frac{12}{q}{ \small .} \)
Подставляя во второе уравнение системы, получаем:
\(\displaystyle b_1+b_1\cdot q+b_1\cdot q^2=63{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_1(1+q+q^2)= 63{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{12}{q}(1+q+q^2)= 63\small,\)
\(\displaystyle 12q^2+12q+12=63q{ \small ,} \)
\(\displaystyle 12q^2-51q+12=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle 4q^2-17q+4=0\small,\)
\(\displaystyle q=4\) или \(\displaystyle q=\frac{1}{4}\)
Если \(\displaystyle q=4\small,\) то
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 12}{ q}=\frac{12}{4}=3{ \small .} \)
Если \(\displaystyle q=\frac{1}{4}\small,\) то
\(\displaystyle b_1 = \frac{ 12}{ q}=12:\frac{1}{4}=48{ \small .} \)
Меньший из возможных ответов: \(\displaystyle b_1=3\small.\)
Ответ: \(\displaystyle b_1=3\small.\)