Skip to main content

Теория: Поиск целых и натуральных решений. Текстовые задачи

Задание

Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на \(\displaystyle 5\) дает остаток \(\displaystyle 3{\small,}\) и при делении на \(\displaystyle 4\) дает остаток \(\displaystyle 3{\small.}\)

Решение

Информация

Любое натуральное число \(\displaystyle \color{red}{A}\) можно разделить на натуральное число \(\displaystyle \color{blue}{B}\) с остатком.

Тогда число \(\displaystyle \color{red}{A}\) можно представить в виде:

\(\displaystyle \color{red}{A}=\color{blue}{B} \cdot \color{green}{q} +\color{darkviolet}{r}{\small,}\)

где \(\displaystyle \color{red}{A}\) – делимое, \(\displaystyle \color{blue}{B}\) – делитель, \(\displaystyle \color{green}{q}\) – неполное частное, \(\displaystyle \color{darkviolet}{r}\) – остаток, причём \(\displaystyle 0 \leq\color{darkviolet}{r}\leq \color{blue}{B}-1{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle A\) – данное натуральное число.

При делении \(\displaystyle A\) на \(\displaystyle 5\) и при делении \(\displaystyle A\) на \(\displaystyle 4\) получаются равные остатки \(\displaystyle r=3{\small.}\)

Допустим,

  • \(\displaystyle x\) – неполное частное при делении \(\displaystyle A\) на \(\displaystyle 5{\small,}\) тогда

\(\displaystyle A=5 \cdot x +3{\small.}\)

  • \(\displaystyle y\) – неполное частное при делении \(\displaystyle A\) на \(\displaystyle 4{\small,}\) тогда

\(\displaystyle A=4 \cdot y +3{\small.}\)

Поскольку одно и то же число \(\displaystyle A\) записали двумя способами, то получаем равенство

\(\displaystyle 5 \cdot x +3=4 \cdot y+3{\small.}\)

Требуется найти наименьшее натуральное \(\displaystyle A{\small,}\) удовлетворяющее условию задачи.

Значит, надо найти наименьшие натуральные \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y{\small,}\) удовлетворяющие полученному уравнению.

Упростим уравнение и выразим \(\displaystyle x\) через \(\displaystyle y{\small:}\)

\(\displaystyle x=\frac{4\cdot y}{5}{\small.}\)

Наименьшие натуральные \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) можно найти двумя способами.

Способ \(\displaystyle 1{\small.}\) 

Способ \(\displaystyle 2{\small.}\) 

Пара чисел \(\displaystyle x=4\) и \(\displaystyle y=5\) – наименьшие натуральные значения переменных, удовлетворяющих уравнению, составленному по условию задачи.

Найдем число \(\displaystyle A{\small.}\)

Это можно сделать двумя способами:

\(\displaystyle A=5 \cdot x +3=5\cdot 4 +3=23\)

или

\(\displaystyle A=4 \cdot y +3= 4 \cdot 5 +3=23{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 23{\small.}\)