01Математика - 7 класс. Алгебра - Решение практико-ориентированных задач с помощью системы линейных уравнений

Задание

Из пункта \(\displaystyle A\) в пункт \(\displaystyle B{\small,}\) расстояние между которыми \(\displaystyle 20\)км, вышел первый турист. Через \(\displaystyle 50\)мин из пункта \(\displaystyle B\) ему навстречу вышел второй турист, и они встретились через \(\displaystyle 1\)ч\(\displaystyle 30\)мин. Если бы они вышли одновременно, то встретились бы через \(\displaystyle 2\)ч. Найдите скорости туристов.

скорость первого туриста км/ч

скорость второго туриста км/ч

Решение

Пусть \(\displaystyle x\) – скорость первого туриста, \(\displaystyle y\) – скорость второго туриста.

По условию задачи:

С момента выхода до встречи первый турист был в пути \(\displaystyle 50\)мин\(\displaystyle +1\)ч\(\displaystyle 30\)мин\(\displaystyle =2\)ч\(\displaystyle 20\)мин, то есть \(\displaystyle 2 \small{\frac{1}{3}}\)ч. За это время со скоростью \(\displaystyle x\)км/ч он прошел \(\displaystyle 2\small{\frac{1}{3}} \cdot x\)км.

Второй турист был в пути \(\displaystyle 1\)ч\(\displaystyle 30\)мин, то есть \(\displaystyle 1\small{\frac{1}{2}}\)ч. За это время со скоростью \(\displaystyle y\)км/ч он прошел \(\displaystyle 1 \small{\frac{1}{2}} \cdot y\)км.

Расстояние между пунктами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) равно \(\displaystyle 20\)км и равно сумме расстояний, пройденных туристами. То есть

\(\displaystyle 2{\small{\frac{1}{3}}} \cdot x+ 1{\small{\frac{1}{2}}} \cdot y=20{\small.}\)

Если бы туристы вышли одновременно, то встретились бы через два часа. За \(\displaystyle 2\)ч первый турист пройдет \(\displaystyle 2x\)км, второй – \(\displaystyle 2y\)км. Тогда

\(\displaystyle 2x+2y=20{\small.}\)

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y{\small,}\) которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, то есть удовлетворяют системе

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}&2{\small{\frac{1}{3}}} \cdot x+ 1{\small{\frac{1}{2}}} \cdot y=20{\small,}\\&2x+2y=20{\small.}\end{aligned}\right.\)

Решив эту систему, получим

\(\displaystyle x=6{\small,}\) \(\displaystyle y=4{\small.}\)

Выполним преобразования в уравнениях системы:

в первом уравнении системы смешанные числа представим в виде неправильных дробей;
второе уравнение системы поделим на \(\displaystyle 2{\small:}\)

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}&{\small{\frac{7}{3}}} \cdot x+ {\small{\frac{3}{2}}} \cdot y=20{\small,}\\&x+y=10{\small.}\end{aligned}\right.\)

умножим первое уравнение системы на \(\displaystyle 6{\small,}\) чтобы избавиться от знаменателей:

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}&14x+9 y=120{\small,}\\&x+y=10{\small.}\end{aligned}\right.\)

Получили систему, равносильную исходной.

Решим полученную систему линейных уравнений методом алгебраического сложения.

Умножим второе уравнение на \(\displaystyle -9{\small:}\)

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}14x+9 y=120{\small,}\\-9x-9y=-90{\small.}\end{aligned}\right.\)

К левой части первого уравнения прибавим левую часть второго уравнения, а к правой – правую.

\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------------}}}{\color{red}{+}\begin{cases}\ 14x+9 y=120{\small,}\\-9x-9y=-90{\small;}\\\end{cases}}\\5x+0=30 {\small. \ \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)

Получили уравнение с одной переменной \(\displaystyle x{\small.}\) Решим его, найдём значение \(\displaystyle x{\small:}\)

\(\displaystyle 5x=30 {\small;}\)

\(\displaystyle x=6 {\small.}\)

Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением \(\displaystyle x=6{\small.}\)

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}&x=6{\small,}\\&x+y=10{\small.}\end{aligned}\right.\)

Подставим найденное значение \(\displaystyle x\) во второе уравнение системы:

\(\displaystyle\begin{aligned}&\begin{cases}x=6{\small,}\\6+y=10{\small;}\\\end{cases}\\\\&\begin{cases}x=6{\small,}\\y=10-6{\small;}\\\end{cases}\\\\&\begin{cases}x=6{\small,}\\y=4{\small.}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)

То есть скорость первого туриста \(\displaystyle 6\)км/ч, скорость второго туриста – \(\displaystyle 4\)км/ч.

Ответ:

скорость первого туриста \(\displaystyle 6\)км/ч,

скорость второго туриста – \(\displaystyle 4\)км/ч.

Теория: 11 Решение практико-ориентированных задач с помощью системы линейных уравнений