Какое множество точек на плоскости задает неравенство
\(\displaystyle 5x-3y > 8\small?\)
Требуется определить, какую область на плоскости задаёт неравенство
\(\displaystyle 5x-3y >8 {\small.}\)
Чтобы изобразить на плоскости множество решений неравенства с двумя переменными:
- заменим неравенство на равенство – получим уравнение граничной кривой;
- построим граничную кривую;
- граничная кривая разбивает плоскость на области: определим, для каких областей координаты точек удовлетворяют исходному неравенству.
Запишем равенство:
\(\displaystyle 5x-3y = 8 {\small.}\)
Это линейное уравнение. Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая.
\(\displaystyle y \color{red}{<}\frac{5}{3}x-\frac{8}{3}\small.\)
Исходное неравенство – строгое. Значит, координаты точек, лежащих на прямой \(\displaystyle 5x-3y = 8 {\small,}\) не удовлетворяют неравенству.
При этом уравнения \(\displaystyle 5x-3y = 8 {\small}\) и \(\displaystyle y= \frac{5}{3}x-\frac{8}{3}\small\) задают одну и ту же прямую.
Решением неравенства \(\displaystyle y<kx+b {\small }\) являются координаты точек, расположенных ниже прямой \(\displaystyle y=kx+b {\small .}\)
Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Полуплоскость без граничной прямой называется открытой полуплоскостью.
Таким образом, данное неравенство задаёт открытую полуплоскость.
Ответ: полуплоскость (открытую полуплоскость).