Skip to main content

Теория: Определение параллелограмма по признакам

Задание

В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) пересекаются в точке \(\displaystyle O{\small.}\) Известно, что \(\displaystyle AO=11\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle OC=11\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle BO=3x\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle OD=(12-x)\, {\footnotesize см}{\small.}\)

При каком значении \(\displaystyle x\) четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) будет параллелограммом?

\(\displaystyle x=\) 

Решение

Правило

Признак параллелограмма

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам,

то он является параллелограммом.

Согласно признаку четырёхугольник, \(\displaystyle ABCD\) будет параллелограммом, если точка \(\displaystyle O\) будет серединой диагонали \(\displaystyle AC\) и диагонали \(\displaystyle BD{\small.}\)

В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

  • \(\displaystyle AO=11\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle OC=11\, {\footnotesize см}{\small,}\)
  • \(\displaystyle BO=3x\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle OD=(12-x)\, {\footnotesize см}{\small.}\)

 

Так как \(\displaystyle AO=OC{\small,}\) то точка \(\displaystyle O\) – середина диагонали \(\displaystyle AC{\small.}\)

Найдем такое значение \(\displaystyle x{\small,}\) при котором точка \(\displaystyle O\) будет серединой диагонали \(\displaystyle BD{\small.}\)

То есть будет выполняться равенство:

\(\displaystyle BO=OD{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle BO=3x\) и \(\displaystyle OD=12-x{\small:}\)

\(\displaystyle 3x=12-x{\small;} \)

\(\displaystyle 4x=12{\small;} \)

\(\displaystyle x=3{\small.} \)

Значит, диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) делятся точкой пересечения пополам при \(\displaystyle x=3{\small.}\)

Следовательно, при \(\displaystyle x=3\) четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) является параллелограммом.

Ответ: \(\displaystyle x=3{\small.}\)