Известно, что \(\displaystyle 3<a<6{\small .}\) Оцените значение выражения \(\displaystyle \frac{1}{a}{\small .}\)
Двойное неравенство \(\displaystyle 3<a<6\) означает, что верны неравенства
\(\displaystyle 3<a\) и \(\displaystyle a<6{\small.}\)
Так как \(\displaystyle 0<3\) и \(\displaystyle 3<a{\small,}\) то по свойству транзитивности неравенств \(\displaystyle 0<a{\small .}\)
Имеем: \(\displaystyle a{\small ,}\) \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 6\)– положительные числа.
Значит, для каждого из неравенств \(\displaystyle 3<a\) и \(\displaystyle a<6{\small}\) можем воспользоваться правилом:
Пусть \(\displaystyle a{\small }\) и \(\displaystyle b{\small }\)– положительные числа. Тогда
если \(\displaystyle a<b{\small ,}\) то \(\displaystyle \frac{1}{a}>\frac{1}{b}{\small ;}\)
если \(\displaystyle a>b{\small ,}\) то \(\displaystyle \frac{1}{a}<\frac{1}{b}{\small .}\)
- Из неравенства \(\displaystyle 3<a\) получаем, что \(\displaystyle \frac{1}{3}>\frac{1}{a}{\small .}\)
- Из неравенства \(\displaystyle a<6\) получаем, что \(\displaystyle \frac{1}{a}>\frac{1}{6}{\small .}\)
Так как одновременно выполнены неравенства \(\displaystyle \frac{1}{3}>\frac{1}{a}\) и \(\displaystyle \frac{1}{a}>\frac{1}{6}{\small,}\) можем записать двойное неравенство
\(\displaystyle \frac{1}{3}>\frac{1}{a}>\frac{1}{6}{\small.}\)
Располагая числа в порядке возрастания, окончательно получаем:
\(\displaystyle \frac{1}{6}<\frac{1}{a}<\frac{1}{3}{\small.}\)
Те же преобразования можно было сразу проделать с двойным неравенством \(\displaystyle 3<a<6{\small .}\)
\(\displaystyle 3<a<6{\small ,}\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}>\frac{1}{a}>\frac{1}{6}{\small,}\)
Располагая числа в порядке возрастания, получаем:
\(\displaystyle \frac{1}{6}<\frac{1}{a}<\frac{1}{3}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{6}<\frac{1}{a}<\frac{1}{3}{\small.}\)