Известно, что \(\displaystyle \frac{4}{7}<a<\frac{4}{5}{\small .}\) Оцените значение выражения \(\displaystyle 10-\frac{4}{a}{\small .}\)
Заметим, что разность \(\displaystyle 10-\frac{4}{a}\) можно переписать в виде суммы \(\displaystyle -\frac{4}{a}+10{\small .}\)
Оценим сначала значение выражения \(\displaystyle \frac{1}{a}{\small ,}\) после этого \(\displaystyle -\frac{4}{a}{\small ,}\) а потом \(\displaystyle -\frac{4}{a}+10{\small .}\)
1. Переходя от двойного неравенства
\(\displaystyle \frac{4}{7}<a<\frac{4}{5}{\small }\)
к двойному неравенству для обратных чисел, получим:
\(\displaystyle \frac{5}{4}<\frac{1}{a}<\frac{7}{4}{\small.}\)
2. Умножим все части полученного двойного неравенства на \(\displaystyle \color{Blue}{-4}<0{\small .}\)
При этом знак каждого из неравенств изменится на противоположный:
| \(\displaystyle \frac{5}{4}<\frac{1}{a}\,\,\bigg| \cdot \color{Blue}{(-4)} <0{\small ,}\) | \(\displaystyle \frac{1}{a}<\frac{7}{4}\,\,\bigg| \cdot \color{Blue}{(-4)} <0{\small ,}\) |
\(\displaystyle \\-5>-\frac{4}{a}{\small .}\) | \(\displaystyle \\-\frac{4}{a}>-7{\small .}\) |
Так как одновременно выполнены неравенства \(\displaystyle -5>-\frac{4}{a}\) и \(\displaystyle -\frac{4}{a}>-7{\small,}\) можем записать двойное неравенство
\(\displaystyle -5>-\frac{4}{a}>-7{\small.}\)
Располагая числа в порядке возрастания, получаем:
\(\displaystyle -7<-\frac{4}{a}<-5{\small.}\)
3. Прибавим ко всем частям полученного неравенства \(\displaystyle \color{Green}{10}{\small :}\)
\(\displaystyle -7 +\color{Green}{10}<-\frac{{4}}{a}+\color{Green}{10}<-5+\color{Green}{10}{\small ,}\)
\(\displaystyle 3<\color{Green}{10}-\frac{{4}}{a}<5{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 3<10-\frac{{4}}{a}<5{\small .}\)