Skip to main content

Теория: Углы

Задание

В равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\) с основаниями \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) угол \(\displaystyle BAD\) равен \(\displaystyle 72^{\circ}{\small,}\) угол \(\displaystyle CAD\) равен \(\displaystyle 31^{\circ}{\small.}\) Найдите угол \(\displaystyle ABD{\small.}\) Ответ дайте в градусах.

\(\displaystyle \angle ABD=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция:

  • \(\displaystyle AB=CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle BAD=72^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle CAD=31^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти угол \(\displaystyle ABD{\small.}\)

Поскольку трапеция \(\displaystyle ABCD\) равнобедренная, то

\(\displaystyle \angle CDA=\angle BAD=72^{\circ}{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle BAD\) и \(\displaystyle CDA{\small.}\)

 

  • \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны равнобедренной трапеции,
  • \(\displaystyle \angle BAD=\angle CDA=\color{blue}{{72}^{\circ}}\) – углы при основании равнобедренной трапеции,
  • \(\displaystyle AD\) – общая сторона.

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle BAD=\triangle CDA\) – по двум сторонам и углу между ними.

Значит, углы \(\displaystyle BDA\) и \(\displaystyle CAD\) равны:

\(\displaystyle \angle BDA=\angle CAD=\color{green}{{31}^{\circ}}{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BAD{\small.}\)

Сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small.}\) Тогда

\(\displaystyle \angle ABD=180^{\circ} - ({\angle BAD} +{\angle ADB}){\small.}\)

Подставим известные величины углов:

\(\displaystyle \angle ABD=180^{\circ} - (\color{blue}{72^{\circ}} + \color{green}{31^{\circ}} )=180^{\circ}-103^{\circ}=77^{\circ}{\small.} \)

Ответ: \(\displaystyle \angle ABD=77^{\circ}{ \small.}\)

 

Замечание

Из равенства треугольников \(\displaystyle ABD\) и \(\displaystyle ACD\) следует:

Свойство равнобедренной трапеции

Диагонали равнобедренной трапеции равны:

\(\displaystyle AC = BD\small.\)