Skip to main content

Теория: Углы

Задание

Основания равнобедренной трапеции равны \(\displaystyle 21\) и \(\displaystyle 5{\small,}\) высота равна \(\displaystyle 8{\small.}\) Найдите острый угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

\(\displaystyle ^{\circ}\)

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция:

  • \(\displaystyle AD=21\) и \(\displaystyle BC=5\) – основания;
  • \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны;
  • \(\displaystyle BH=CK=8\) – высоты.

Требуется найти острый угол трапеции \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

\(\displaystyle \angle A=\angle D=\color{red}{\large ?}\)

Рассмотрим четырёхугольник \(\displaystyle BCKH\small.\)

  • Основания трапеции параллельны.
  • Высоты трапеции перпендикулярны основаниям.

Следовательно,

\(\displaystyle BCKH \) – прямоугольник. 

Тогда

\(\displaystyle HK=BC=5{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK{\small.}\)

  • \(\displaystyle AB=CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle BH=CK=8{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle ABH= \triangle DCK\)

по гипотенузе и катету.

Значит,

\(\displaystyle AH=DK=\frac{AD-HK}{2}{\small;}\\ \)

\(\displaystyle AH=\frac{21-5}{2}=\frac{16}{2}=8{\small.}\)

Найдём острый угол трапеции.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AHB{\small:}\)

Так как \(\displaystyle BH=AH=8{\small,}\) то

\(\displaystyle \triangle ABH\) – равнобедренный.

По свойству равнобедренного треугольника

\(\displaystyle \angle HAB=\angle HBA{\small.}\)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \angle HAB+\angle HBA=90^{\circ}{\small,}\)

\(\displaystyle 2 \cdot \angle HAB=90^{\circ}{\small,}\)

\(\displaystyle \angle HAB=90^{\circ}:2=45^{\circ}{\small.}\)

Острый угол трапеции  \(\displaystyle ABCD\) равен \(\displaystyle 45^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 45^{\circ}{\small.}\)