Skip to main content

Теория: Углы

Задание

В равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\) с основаниями \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) угол \(\displaystyle CAD\) равен \(\displaystyle 36^{\circ }{\small,}\) \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей. Найдите угол \(\displaystyle AOD{\small.}\) Ответ дайте в градусах.

\(\displaystyle \angle AOD=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция:

  • \(\displaystyle AB=CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей;
  • \(\displaystyle \angle CAD=36^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти угол \(\displaystyle AOD{\small.}\)

Поскольку трапеция \(\displaystyle ABCD\) равнобедренная, то

\(\displaystyle \angle CDA=\angle BAD{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle BAD\) и \(\displaystyle CDA{\small.}\)

 

  • \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны равнобедренной трапеции,
  • \(\displaystyle \angle BAD=\angle CDA\) – углы при основании равнобедренной трапеции,
  • \(\displaystyle AD\) – общая сторона.

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle BAD=\triangle CDA\) – по двум сторонам и углу между ними.

Значит, углы \(\displaystyle BDA\) и \(\displaystyle CAD\) равны:

\(\displaystyle \angle BDA=\angle CAD=\color{green}{{36}^{\circ}}{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle AOD{\small.}\)

Сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small.}\) Тогда

\(\displaystyle \angle AOD=180^{\circ} - ({\angle OAD} +{\angle ODA}){\small.}\)

Подставим известные величины углов:

\(\displaystyle \angle AOD=180^{\circ} - (\color{green}{36^{\circ}} + \color{green}{36^{\circ}} )=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}{\small.} \)

Ответ: \(\displaystyle \angle AOD=108^{\circ}{ \small.}\)