Являются ли тождественно равными выражения \(\displaystyle x^2+5x+6\) и \(\displaystyle (x+2)(x+3){\small?}\)
Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Покажем, что можно получить одно выражение из другого.
Первое выражение является многочленом в стандартном виде.
Преобразуем второе выражение к стандартному виду.
\(\displaystyle (x+2)(x+3)={\small?}\)
Раскроем скобки, приведем подобные и запишем многочлен по убывающим степеням одночленов.
Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle (\color{blue}{x}+\color{green}{2})\cdot (x+3)=\color{blue}{x}\cdot (x+3)+\color{green}{2} \cdot (x+3){\small .}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{x}\cdot (x+3)+\color{green}{2}\cdot (x+3)=\\\kern{2em}=\color{blue}{x}\cdot x+\color{blue}{x}\cdot 3+(\color{green}{2}\cdot x+\color{green}{2}\cdot 3)=\\\kern{4em} =x^2+3x+(2x+6){\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \begin{aligned}x^2+3x+(2x+6)=x^2+3x+2x+6{\small .}\end{aligned}\)
Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные одночлены и записывая их по убывающим степеням \(\displaystyle x\,{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}x^2+3\color{blue}{x}+2\color{blue}{x}+6&=x^2+(3\color{blue}{x}+2\color{blue}{x})+6&=\\&=x^2+(3+2)\color{blue}{x}+6&=\\&=x^2+5\color{blue}{x}+6{\small .}\end{aligned}\)
Таким образом, второе выражение равно
\(\displaystyle (x+2)(x+3)=x^2+5{x}+6{\small .}\)
Значит, выражения \(\displaystyle x^2+5x+6\) и \(\displaystyle (x+2)(x+3){\small }\) можно получить путем преобразования одного в другое.
Это означает, что выражения равны при любых значениях переменных.
Ответ: Да.