Являются ли тождественно равными выражения \(\displaystyle 2x^3+3x^2+5x+8\) и \(\displaystyle (x+1)(3x^2+7){\small?}\)
Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Первое выражение является многочленом в стандартном виде.
Преобразуем второе выражение к стандартному виду.
\(\displaystyle (x+1)(3x^2+7)={\small?}\)
Раскроем скобки, приведем подобные и запишем многочлен по убывающим степеням одночленов.
Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle (\color{blue}{x}+\color{green}{1})\cdot (3x^2+7)=\color{blue}{x}\cdot (3x^2+7)+\color{green}{1} \cdot (3x^2+7){\small .}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{x}\cdot (3x^2+7)+\color{green}{1}\cdot (3x^2+7)=\\\kern{2em}=\color{blue}{x}\cdot 3x^2+\color{blue}{x}\cdot 7+(\color{green}{1}\cdot 3x^2+\color{green}{1}\cdot 7)=\\\kern{4em} =3x^3+7x+(3x^2+7){\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \begin{aligned}3x^3+7x+(3x^2+7)=3x^3+7x+3x^2+7{\small .}\end{aligned}\)
Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, записывая одночлены по убывающим степеням \(\displaystyle x\,{\small :}\)
\(\displaystyle 3x^3+7x+3x^2+7=3x^3+3x^2+7x+7{\small .}\)
Таким образом, второе выражение равно
\(\displaystyle (x+1)(3x^2+7)=3x^3+3x^2+7x+7{\small .}\)
Видим, что первое выражение \(\displaystyle 2x^3+3x^2+5x+8\) отличается от стандартного вида второго \(\displaystyle (x+1)(3x^2+7){\small }\).
Многочлены \(\displaystyle 2x^3+3x^2+5x+8\) и \(\displaystyle (x+1)(3x^2+7)\) имеют разный стандартный вид.
Значит, выражения \(\displaystyle 2x^3+3x^2+5x+8\) и \(\displaystyle (x+1)(3x^2+7)\) не могут быть получены одно из другого.
Убедимся, что они не являются тождественно равными.
Возьмем \(\displaystyle x=0\) и подставим в выражения:
- значение выражения \(\displaystyle 2x^3+3x^2+5x+8\) при \(\displaystyle x=0 \) будет равно \(\displaystyle 2\cdot 0^3+3\cdot 0^2+5\cdot 0+8=8{\small ; } \)
- значение выражения \(\displaystyle (x+1)(3x^2+7)\) при \(\displaystyle x=0 \) будет равно \(\displaystyle (0+1)(3\cdot 0^2+7)=7{\small . } \)
То есть нашли значение переменной, при котором выражения принимают разные значения.
Следовательно, данные выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет.