Являются ли тождественно равными выражения \(\displaystyle x^3-x^2-8x+8\) и \(\displaystyle (x-1)(x^2-8){\small?}\)
Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Покажем, что можно получить одно выражение из другого.
Первое выражение является многочленом в стандартном виде.
Преобразуем второе выражение к стандартному виду.
\(\displaystyle (x-1)(x^2-8)={\small?}\)
Раскроем скобки, приведем подобные и запишем многочлен по убывающим степеням одночленов.
Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle (\color{blue}{x}-\color{green}{1})\cdot (x^2-8)=\color{blue}{x}\cdot (x^2-8)-\color{green}{1} \cdot (x^2-8){\small .}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{x}\cdot (x^2-8)-\color{green}{1}\cdot (x^2-8)=\\\kern{2em}=\color{blue}{x}\cdot x^2-\color{blue}{x}\cdot 8-(\color{green}{1}\cdot x^2-\color{green}{1}\cdot 8)=\\\kern{4em} =x^3-8x-(x^2-8){\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \begin{aligned}x^3-8x-(x^2-8)=x^3-8x-x^2+8{\small .}\end{aligned}\)
Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, записывая одночлены по убывающим степеням \(\displaystyle x\,{\small :}\)
\(\displaystyle x^3-8x-x^2+8=x^3-x^2-8x+8{\small .}\)
Таким образом, второе выражение равно
\(\displaystyle (x-1)(x^2-8)=x^3-x^2-8x+8{\small .}\)
Значит, выражения \(\displaystyle x^3-x^2-8x+8\) и \(\displaystyle (x-1)(x^2-8){\small }\) можно получить путем преобразования одного в другое.
Это означает, что выражения равны при любых значениях переменных.
Ответ: Да.