Теория: 25 Доказательство тождеств

\(\displaystyle x(x+4)+x+3={\small?}\)

Раскроем скобки, приведем подобные и запишем многочлен по убывающим степеням одночленов.

Для того чтобы раскрыть скобки, надо умножить на \(\displaystyle x\) каждый член суммы \(\displaystyle x+4\):

\(\displaystyle \color{red}{x} \cdot (x+4)+x+3=\color{red}{x}\cdot x+\color{red}{x}\cdot 4 + x+3=x^2+4x +x+3.\)

Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные одночлены и записывая их по убывающим степеням \(\displaystyle x\,{\small :}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}x^2+4\color{blue}{x}+\color{blue}{x}+3&=x^2+(4\color{blue}{x}+1\color{blue}{x})+3&=\\&=x^2+(4+1)\color{blue}{x}+3&=\\&=x^2+5\color{blue}{x}+3{\small .}\end{aligned}\)

Таким образом, первое выражение равно

\(\displaystyle x(x+4)+x+3=x^2+5{x}+3{\small .}\)

\(\displaystyle (x+2)(x+3)-3={\small?}\)

Раскроем скобки, приведем подобные и запишем многочлен по убывающим степеням одночленов.

Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:

\(\displaystyle (\color{blue}{x}+\color{green}{2})\cdot (x+3)-3=\color{blue}{x}\cdot (x+3)+\color{green}{2} \cdot (x+3)-3{\small .}\)

Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{x}\cdot (x+3)+\color{green}{2}\cdot (x+3)-3=\\\kern{2em}=\color{blue}{x}\cdot x+\color{blue}{x}\cdot 3+(\color{green}{2}\cdot x+\color{green}{2}\cdot 3)=\\\kern{4em} =x^2+3x+(2x+6)-3{\small .}\end{array}\)

Раскроем скобки:

\(\displaystyle \begin{aligned}x^2+3x+(2x+6)-3=x^2+3x+2x+6-3{\small .}\end{aligned}\)

Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные одночлены и записывая их по убывающим степеням \(\displaystyle x\,{\small :}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}x^2+3\color{blue}{x}+2\color{blue}{x}+6-3&=x^2+(3\color{blue}{x}+2\color{blue}{x})+(6-3)&=\\&=x^2+(3+2)\color{blue}{x}+3&=\\&=x^2+5\color{blue}{x}+3{\small .}\end{aligned}\)

Таким образом, второе выражение равно

\(\displaystyle (x+2)(x+3)-3=x^2+5{x}+3{\small .}\)