Являются ли тождественно равными выражения \(\displaystyle x^2-7x+6\) и \(\displaystyle (x-5)(x-1){\small?}\)
Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Первое выражение является многочленом в стандартном виде.
Преобразуем второе выражение к стандартному виду, а затем сравним с первым.
\(\displaystyle (x-5)(x-1)={\small?}\)
Раскроем скобки, приведем подобные и запишем многочлен по убывающим степеням одночленов.
Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle (\color{blue}{x}-\color{green}{5})\cdot (x-1)=\color{blue}{x}\cdot (x-1)-\color{green}{5} \cdot (x-1){\small .}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{x}\cdot (x-1)-\color{green}{5}\cdot (x-1)=\\\kern{5em}=\color{blue}{x}\cdot x-\color{blue}{x}\cdot 1-(\color{green}{5}\cdot x-\color{green}{5}\cdot 1)=\\\kern{5em} =x^2- x-(5x-5){\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \begin{aligned}x^2- x-(5x-5)=x^2- x-5x+5{\small .}\end{aligned}\)
Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные одночлены и записывая их по убывающим степеням \(\displaystyle x\,{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}x^2- \color{blue}{x}-5\color{blue}{x}+5&=x^2+(- \color{blue}{x}-5\color{blue}{x})+5&=\\&=x^2+(-1 -5)\color{blue}{x}+5&=\\&=x^2-6\color{blue}{x}+5{\small .}\end{aligned}\)
Таким образом, второе выражение равно
\(\displaystyle (x-5)(x-1)=x^2-6{x}+5{\small .}\)
Видим, что первое выражение \(\displaystyle x^2-7x+6\) отличается от стандартного вида второго \(\displaystyle x^2-6{x}+5{\small .}\)
Многочлены \(\displaystyle x^2-7x+6\) и \(\displaystyle (x-5)(x-1)\) имеют разный стандартный вид.
Значит, выражения \(\displaystyle x^2-7x+6\) и \(\displaystyle (x-5)(x-1)\) не могут быть получены одно из другого.
Убедимся, что они не являются тождественно равными.
Возьмем \(\displaystyle x=0\) и подставим в выражения:
- значение выражения \(\displaystyle x^2-7x+6\) при \(\displaystyle x=0 \) будет равно \(\displaystyle 0^2-7\cdot 0+6=6{\small ; } \)
- значение выражения \(\displaystyle (x-5)(x-1)\) при \(\displaystyle x=0 \) будет равно \(\displaystyle (0-5)(0-1)=5{\small . } \)
То есть нашли значение переменной, при котором выражения принимают разные значения.
Следовательно, данные выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет.