Являются ли тождественно равными выражения \(\displaystyle x^2+5x-36\) и \(\displaystyle (x+9)(x-4){\small?}\)
Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Покажем, что можно получить одно выражение из другого.
Первое выражение является многочленом в стандартном виде.
Преобразуем второе выражение к стандартному виду.
\(\displaystyle (x+9)(x-4)={\small?}\)
Раскроем скобки, приведем подобные и запишем многочлен по убывающим степеням одночленов.
Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle (\color{blue}{x}+\color{green}{9})\cdot (x-4)=\color{blue}{x}\cdot (x-4)+\color{green}{9} \cdot (x-4){\small .}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{x}\cdot (x-4)+\color{green}{9}\cdot (x-4)=\\\kern{2em}=\color{blue}{x}\cdot x-\color{blue}{x}\cdot 4+(\color{green}{9}\cdot x-\color{green}{9}\cdot 4)=\\\kern{4em} =x^2-4x+(9x-36){\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \begin{aligned}x^2-4x+(9x-36)=x^2-4x+9x-36{\small .}\end{aligned}\)
Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные одночлены и записывая их по убывающим степеням \(\displaystyle x\,{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}x^2-4\color{blue}{x}+9\color{blue}{x}-36&=x^2+(-4\color{blue}{x}+9\color{blue}{x})-36&=\\&=x^2+(-4+9)\color{blue}{x}-36&=\\&=x^2+5\color{blue}{x}-36{\small .}\end{aligned}\)
Таким образом, второе выражение равно
\(\displaystyle (x+9)(x-4)=x^2+5{x}-36{\small .}\)
Значит, выражения \(\displaystyle x^2+5x-36\) и \(\displaystyle (x+9)(x-4){\small }\) можно получить путем преобразования одного в другое.
Это означает, что выражения равны при любых значениях переменных.
Ответ: Да.