Найдите значение выражения
\(\displaystyle \sqrt {(a+4)^2} - \sqrt {(a+7)^2}\)
при \(\displaystyle a \geqslant -4 {\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle \sqrt {({a} + 4)^2} - \sqrt {({a} + 7)^2}= |{a} + 4| - |{a} + 7|{\small.}\)
Раскроем каждый модуль при условии, что \(\displaystyle {a} \geqslant -4 {\small .}\)
\(\displaystyle \left|{a} + 4\right| = {a} + 4 {\small}\) при \(\displaystyle {a} \geqslant -4 {\small .}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} + 4{\small.}\)
По условию
\(\displaystyle {a} \geqslant -4 {\small .}\)
Прибавляя к обеим частям данного неравенства \(\displaystyle 4{\small ,}\) получим:
\(\displaystyle {a} + 4 \geqslant 0 {\small .}\)
Тогда знак модуля можно убрать:
\(\displaystyle |{a} + 4| = {a} + 4 {\small.}\)
\(\displaystyle \left|{a} + 7\right| = {a} + 7 {\small}\) при \(\displaystyle {a} \geqslant -4 {\small .}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} + 7{\small.}\)
По условию \(\displaystyle {a} \geqslant -4 {\small ,}\) а \(\displaystyle -4 > -7 {\small .}\) По свойству транзитивности неравенств:
\(\displaystyle {a} > -7 {\small .}\)
Прибавляя к обеим частям данного неравенства \(\displaystyle 7{\small ,}\) получим:
\(\displaystyle {a} + 7 > 0 {\small .}\)
Тогда знак модуля можно убрать:
\(\displaystyle |{a} + 7| = {a} + 7 {\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle |{a} + 4| - |{a} + 7| = {a} + 4 - ({a} + 7) = {a} + 4 - {a} - 7 = -3{\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle \color{Blue} { {a} \geqslant 4 } {\small }\)
\(\displaystyle \color{Blue} {\sqrt {({a} + 4)^2} - \sqrt {({a} + 7)^2} = -3} {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -3{\small.}\)