Найдите значение выражения
\(\displaystyle \sqrt {(a+8)^2} + \sqrt {(a+3)^2}\)
при \(\displaystyle -8 \leqslant a \leqslant -3 {\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle \sqrt {({a} + 8)^2} + \sqrt {({a} + 3)^2}= |{a} + 8| + |{a} + 3|{\small.}\)
Раскроем каждый модуль при условии, что \(\displaystyle -8 \leqslant {a} \leqslant -3{\small .}\)
\(\displaystyle \left|{a} + 8\right| = {a} + 8 {\small}\) при \(\displaystyle -8 \leqslant {a} \leqslant -3{\small .}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} + 8{\small.}\)
По условию \(\displaystyle -8 \leqslant {a} \leqslant -3{\small ,}\) значит,
\(\displaystyle {a} \geqslant -8{\small .}\)
Прибавляя к обеим частям данного неравенства \(\displaystyle 8{\small ,}\) получим:
\(\displaystyle {a} + 8 \geqslant 0{\small .}\)
Тогда знак модуля можно убрать:
\(\displaystyle |{a} + 8| = {a} + 8{\small.}\)
\(\displaystyle \left|{a} + 3\right| = -{a} - 3 {\small}\) при \(\displaystyle -8 \leqslant {a} \leqslant -3{\small .}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} + 3{\small.}\)
По условию \(\displaystyle -8 \leqslant {a} \leqslant -3{\small ,}\) значит,
\(\displaystyle {a} \leqslant -3{\small .}\)
Прибавляя к обеим частям данного неравенства \(\displaystyle 3{\small ,}\) получим:
\(\displaystyle {a} + 3 \leqslant 0 {\small .}\)
Тогда модуль раскрывается со знаком минус:
\(\displaystyle |{a} + 3| = -({a} + 3) = -{a} - 3 {\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle |{a} + 8| + |{a} + 3| = {a} + 8 + (-{a} - 3) = {a} + 8 - {a} - 3 = 5{\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle \color{Blue} {-8 \leqslant {a} \leqslant -3}\)
\(\displaystyle \color{Blue} {\sqrt {({a} + 8)^2} + \sqrt {({a} + 3)^2} = 5} {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 5{\small.}\)