Найдите значение выражения
\(\displaystyle \sqrt {(a+3)^2} + \sqrt {(a-5)^2}\)
при \(\displaystyle -3 \leqslant a \leqslant 5 {\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle \sqrt {({a} + 3)^2} + \sqrt {({a} - 5)^2}= |{a} + 3| + |{a} - 5|{\small.}\)
Раскроем каждый модуль при условии, что \(\displaystyle -3 \leqslant {a} \leqslant 5{\small .}\)
\(\displaystyle \left|{a} + 3\right| = a+3 {\small}\) при \(\displaystyle -3 \leqslant {a} \leqslant 5{\small .}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} + 3{\small.}\)
По условию \(\displaystyle -3 \leqslant {a} \leqslant 5{\small ,}\) значит,
\(\displaystyle {a} \geqslant -3{\small .}\)
Прибавляя к обеим частям данного неравенства \(\displaystyle 3{\small ,}\) получим:
\(\displaystyle {a} + 3 \geqslant 0{\small .}\)
Тогда знак модуля можно убрать:
\(\displaystyle |{a} + 3| = {a} + 3{\small.}\)
\(\displaystyle \left|{a} - 5\right| = 5 - a {\small}\) при \(\displaystyle -3 \leqslant {a} \leqslant 5{\small .}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} - 5{\small.}\)
По условию \(\displaystyle -3 \leqslant {a} \leqslant 5{\small ,}\) значит,
\(\displaystyle {a} \leqslant 5{\small .}\)
Вычитая из обеих частей данного неравенства \(\displaystyle 5{\small ,}\) получим:
\(\displaystyle {a} - 5 \leqslant 0 {\small .}\)
Тогда модуль раскрывается со знаком минус:
\(\displaystyle |{a} - 5| = -({a} - 5) = 5 - a {\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle |{a} - 3| + |{a} - 5| = {a} + 3 + (5 - {a}) = {a} + 3 + 5 - {a} = 8{\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle \color{Blue} {-3 \leqslant {a} \leqslant 5}\)
\(\displaystyle \color{Blue} {\sqrt {({a} + 3)^2} + \sqrt {({a} - 5)^2} = 8} {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 8{\small.}\)