Найдите значение выражения
\(\displaystyle \sqrt {(a-4)^2} - \sqrt {(a+6)^2}\)
при \(\displaystyle a \geqslant 4 {\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle \sqrt {({a} - 4)^2} - \sqrt {({a} + 6)^2}= |{a} - 4| - |{a} + 6|{\small.}\)
Раскроем каждый модуль при условии, что \(\displaystyle {a} \geqslant 4 {\small .}\)
\(\displaystyle \left|{a} - 4\right| = {a} - 4 {\small}\) при \(\displaystyle {a} \geqslant 4 {\small .}\)
\(\displaystyle \left|{a} + 6\right| = {a} + 6 {\small}\) при \(\displaystyle {a} \geqslant 4 {\small .}\)
Определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} + 6{\small.}\)
По условию \(\displaystyle {a} \geqslant 4 {\small ,}\) а \(\displaystyle 4 > -6 {\small .}\) По свойству транзитивности неравенств:
\(\displaystyle {a} > -6 {\small .}\)
Прибавляя к обеим частям данного неравенства \(\displaystyle 6{\small ,}\) получим:
\(\displaystyle {a} + 6 > 0 {\small .}\)
Тогда знак модуля можно убрать:
\(\displaystyle |{a} + 6| = {a} + 6 {\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle |{a} - 4| - |{a} + 6| = {a} - 4 - ({a} + 6) = {a} - 4 - {a} - 6 = -10{\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle \color{Blue} { {a} \geqslant 4 } {\small }\)
\(\displaystyle \color{Blue} {\sqrt {({a} - 4)^2} - \sqrt {({a} + 6)^2} = -10} {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -10{\small.}\)