Найдите значение выражения
\(\displaystyle \sqrt {(a+4)^2} - \sqrt {(a-6)^2}\)
при \(\displaystyle a < -4 {\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle \sqrt {({a} + 4)^2} - \sqrt {({a} - 6)^2}= |{a} + 4| - |{a} - 6|{\small.}\)
Раскроем каждый модуль при условии, что \(\displaystyle {a} < -4 {\small .}\)
\(\displaystyle \left|{a} + 4\right| = -{a} - 4 {\small}\) при \(\displaystyle {a} < -4 {\small .}\)
\(\displaystyle \left|{a} - 6\right| = -{a} + 6 {\small}\) при \(\displaystyle {a} < -4 {\small .}\)
Определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} - 6{\small.}\)
По условию \(\displaystyle {a} < -4 {\small ,}\) а \(\displaystyle -4 < 6 {\small .}\) По свойству транзитивности неравенств:
\(\displaystyle {a} < 6 {\small .}\)
Вычитая из обеих частей данного неравенства \(\displaystyle 6{\small ,}\) получим:
\(\displaystyle {a} - 6 < 0 {\small .}\)
Тогда модуль раскрывается со знаком минус:
\(\displaystyle |{a} - 6| = -({a} - 6) = -{a} + 6 {\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle |{a} + 4| - |{a} - 6| = -{a} - 4 - (-{a} + 6) = -{a} - 4 + {a} - 6 = -10{\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle \color{Blue} { {a} < -4 } {\small }\)
\(\displaystyle \color{Blue} {\sqrt {({a} + 4)^2} - \sqrt {({a} - 6)^2} = -10} {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -10{\small.}\)