Найдите значение выражения
\(\displaystyle \sqrt {(a-3)^2} - \sqrt {(a-5)^2}\)
при \(\displaystyle a < 3 {\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle \sqrt {({a} - 3)^2} - \sqrt {({a} - 5)^2}= |{a} - 3| - |{a} - 5|{\small.}\)
Раскроем каждый модуль при условии, что \(\displaystyle {a} < 3 {\small .}\)
\(\displaystyle \left|{a} - 3\right| = 3 - a {\small}\) при \(\displaystyle {a} < 3 {\small .}\)
\(\displaystyle \left|{a} - 5\right| = 5 - a {\small}\) при \(\displaystyle {a} < 3 {\small .}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} - 5{\small.}\)
По условию \(\displaystyle {a} < 3 {\small ,}\) а \(\displaystyle 3<5{\small .}\) По свойству транзитивности неравенств:
\(\displaystyle {a} < 5 {\small .}\)
Вычитая из обеих частей данного неравенства \(\displaystyle 5{\small ,}\) получим:
\(\displaystyle {a} - 5 < 0 {\small .}\)
Тогда модуль раскрывается со знаком минус:
\(\displaystyle |{a} - 5| = -({a} - 5) = 5 - a {\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle |{a} - 3| - |{a} - 5| = 3 - {a} - (5 - {a}) = 3 - {a} - 5 + {a} = -2{\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle \color{Blue} { {a} < 3 } {\small }\)
\(\displaystyle \color{Blue} {\sqrt {({a} - 3)^2} - \sqrt {({a} - 5)^2} = -2} {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -2{\small.}\)