Квадратное уравнение
\(\displaystyle x^2 + 37x - 260 = 0\)
имеет корни \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2{\small .}\) Не вычисляя их, выберите верное утверждение.
По условию, квадратное уравнение
\(\displaystyle x^2 + 37x - 260 = 0\)
имеет корни, поэтому для определения знаков корней можем воспользоваться теоремой Виета.
Теорема Виета
Если\(\displaystyle x_1\) и\(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения\(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small ,}\)
то для них выполняются следующие соотношения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2& = -\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ a}}{\small ,}\\[10px]x_1\cdot x_2& = \frac{\color{blue}{ c}}{\color{red}{a}} {\small .}\end{aligned}\right. \)
Для данного уравнения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + x_2& = -37{\small ,}\\x_1 \cdot x_2& = -260{\small .}\end{aligned}\right. \)
Рассмотрим сначала второе уравнение системы
\(\displaystyle x_1 \cdot x_2 = -260{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle x_1 \cdot x_2 < 0{\small ,}\) то либо \(\displaystyle x_1 > 0\) и \(\displaystyle x_2 < 0{\small ,}\) либо \(\displaystyle x_1 < 0\) и \(\displaystyle x_2 > 0{\small .}\)
Таким образом, корни уравнения имеют разные знаки.
Ответ: корни уравнения имеют разные знаки.