Выберите верное утверждение о корнях уравнения
\(\displaystyle x^2 - 9x + 19 = 0{\small ,}\)
не вычисляя их.
1. Проверим сначала, имеет ли данное квадратное уравнение действительные корни.
Квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда его дискриминант \(\displaystyle \rm D\) неотрицателен.
Для уравнения
\(\displaystyle x^2 - 9x + 19 = 0\)
вычислим дискриминант:
\(\displaystyle \rm D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 =81 - 76 = 5 > 0 {\small .}\)
Так как \(\displaystyle \rm D > 0 {\small ,}\) то уравнение имеет два различных действительных корня \(\displaystyle x_1\) и\(\displaystyle x_2 {\small .}\)
2. Чтобы определить знаки корней, воспользуемся теоремой Виета.
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + x_2& = 9{ \small ,}\\x_1 \cdot x_2& = 19{\small .}\end{aligned}\right. \)
Рассмотрим сначала второе уравнение системы:
\(\displaystyle x_1 \cdot x_2 = 19{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle x_1 \cdot x_2 > 0{\small ,}\) то возможны два варианта.
- Оба корня положительны, и тогда их сумма тоже положительна:
\(\displaystyle x_1 > 0{\small ,}\) \(\displaystyle x_2 > 0\) и \(\displaystyle x_1 + x_2 > 0{\small .}\)
- Оба корня отрицательны, и тогда их сумма тоже отрицательна:
\(\displaystyle x_1 < 0{\small ,}\) \(\displaystyle x_2 < 0\) и \(\displaystyle x_1 + x_2 < 0{\small .}\)
Из первого уравнения системы получаем:
\(\displaystyle x_1 + x_2 = 9 > 0{\small .}\)
Поэтому реализуется только первый случай: \(\displaystyle x_1 > 0\) и \(\displaystyle x_2 > 0{\small .}\)
Таким образом, оба корня уравнения положительны.
Ответ: оба корня уравнения положительны.