Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle \frac{(x - p)(x - 8)}{ x - 9} =0 \)
имеет ровно один корень.
Если таких значений нет, то оставьте оба поля ввода пустыми.
Если такое значение одно, то оставьте второе поле ввода пустым.
Уравнение
\(\displaystyle \frac{(x - p)(x - 8)}{ x-9} =0 \)
дробно-рациональное.
Воспользуемся правилом.
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Значит,
\(\displaystyle \begin{cases} (x - p)(x - 8)=0{\small , } \\ x-9\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{cases} x=p{\small , } \ x=8{\small , } \\ x\, \cancel{=}\, 9{\small . }\end{cases}\)
Далее рассмотрим два способа решения.
Первый способ основан на анализе получившейся системы.
Второй способ предполагает решение уравнения для всех значений параметра, и затем выбор нужных значений параметра.
Первый способ
Уравнение имеет ровно один корень.
Так как \(\displaystyle 8\, \cancel{=}\, 9{\small ,}\) то \(\displaystyle 8\) является корнем уравнения.
Следовательно, других корней нет. Тогда число \(\displaystyle x=p\) не дает еще одного корня уравнения.
Это возможно в двух случаях:
- число \(\displaystyle x=p\) не удовлетворяет условию \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 9{\small , }\) тогда \(\displaystyle p=9\small;\)
- число \(\displaystyle x=p\) совпадает с корнем \(\displaystyle x = 8{\small , }\) тогда \(\displaystyle p=8\small.\)
Это значит, что \(\displaystyle p=8\small\) или \(\displaystyle p=9\small.\)
Второй способ
Решим уравнение для всех значений параметра.
Корнем уравнения могут быть только числа \(\displaystyle x=p{\small }\) и \(\displaystyle x=8{\small .}\)
Так как \(\displaystyle 8\, \cancel{=}\, 9{\small ,}\) то \(\displaystyle 8\) всегда является корнем уравнения.
Число \(\displaystyle x=p\) является корнем уравнения, если выполняется условие \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 9{\small ,}\) то есть при \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 9{\small . }\)
При \(\displaystyle p = 9{\small }\) число \(\displaystyle x=p\) не удовлетворяет условию \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 9{\small .}\) Значит, \(\displaystyle x=p\) не является корнем; уравнение имеет один корень \(\displaystyle x=8{\small .}\)
При \(\displaystyle p = 8{\small }\) корень \(\displaystyle x=p\) совпадает с корнем \(\displaystyle x=8{\small ,}\) уравнение имеет один корень \(\displaystyle x=8{\small .}\)
При \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 9{\small , }\) \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 8{\small }\) уравнение имеет два различных корня \(\displaystyle x=8{\small }\) и \(\displaystyle x=p{\small .}\)
Таким образом,
- при \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 8{\small ,}\ p\, \cancel{=}\, 9{\small }\) уравнение имеет ровно два корня, \(\displaystyle x=p{\small }\) и \(\displaystyle x=8{\small ;}\)
- при \(\displaystyle p = 8{\small }\) уравнение имеет ровно один корень, \(\displaystyle x=8{\small ;}\)
- при \(\displaystyle p = 9{\small }\) уравнение имеет ровно один корень, \(\displaystyle x=8{\small .}\)
Это значит, что уравнение имеет ровно один корень при \(\displaystyle p=8\small \) и \(\displaystyle p=9\small.\)
Ответ: \(\displaystyle p_1=8\small,\) \(\displaystyle p_2=9\small.\)