Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle \frac{x - p}{ (x - 3)(x-2p+4)} =0 \)
не имеет корней.
Если таких значений нет, то оставьте оба поля ввода пустыми.
Если такое значение одно, то оставьте второе поле ввода пустым.
Уравнение
\(\displaystyle \frac{x - p}{ (x - 3)(x-2p+4)} =0 \)
дробно-рациональное.
Воспользуемся правилом.
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Значит,
\(\displaystyle \begin{cases} x-p=0{\small , } \\ (x - 3)(x-2p+4)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{cases} x=p{\small , } \\ x\, \cancel{=}\, 3{\small , } \ x\, \cancel{=}\, 2p-4{\small . }\end{cases}\)
Далее рассмотрим два способа решения.
Первый способ основан на анализе получившейся системы.
Второй способ предполагает решение уравнения для всех значений параметра, и затем выбор нужных значений параметра.
Первый способ
Уравнение не имеет корней.
Следовательно, число \(\displaystyle x=p\) не удовлетворяет условию \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 3{\small , }\ x\, \cancel{=}\, 2p-4{\small . }\)
Таким образом, утверждение \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 3{\small ,}\ p\, \cancel{=}\, 2p-4{\small }\) неверно.
Это значит, что
\(\displaystyle p=3\small\) или \(\displaystyle p=2p-4\small,\)
\(\displaystyle p=3\small\) или \(\displaystyle p=4\small.\)
Второй способ
Решим уравнение для всех значений параметра.
Корнем уравнения может быть только число \(\displaystyle x=p{\small . }\)
Число \(\displaystyle x=p\) является корнем уравнения, если выполняется условие \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 3{\small , }\ x\, \cancel{=}\, 2p-4{\small . }\)
Другими словами, число \(\displaystyle x=p\) является корнем уравнения, если выполняется условие
\(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 3{\small , }\ p\, \cancel{=}\, 2p-4{\small ; }\)
\(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 3{\small , }\ p\, \cancel{=}\, 4{\small . }\)
Таким образом,
- при \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 3{\small ,}\ p\, \cancel{=}\, 4{\small }\) уравнение имеет ровно один корень, \(\displaystyle x=p{\small; }\)
- при \(\displaystyle p = 3{\small }\) число \(\displaystyle x=p\) не является корнем уравнения, уравнение не имеет корней;
- при \(\displaystyle p = 4{\small }\) число \(\displaystyle x=p\) не является корнем уравнения, уравнение не имеет корней.
Это значит, что уравнение не имеет корней при \(\displaystyle p=3\small \) и \(\displaystyle p=4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle p_1=3\small,\) \(\displaystyle p_2=4\small.\)