Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle \frac{x - 3-p}{ x - 2p} =0 \)
не имеет корней.
Если таких значений нет, то оставьте оба поля ввода пустыми.
Если такое значение одно, то оставьте второе поле ввода пустым.
Уравнение
\(\displaystyle \frac{x - 3 - p}{ x - 2p} =0 \)
дробно-рациональное.
Воспользуемся правилом.
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Значит,
\(\displaystyle \begin{cases} x-3-p=0{\small , } \\ x-2p\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{cases} x=p+3{\small , } \\ x\, \cancel{=}\, 2p{\small . } \end{cases}\)
Далее рассмотрим два способа решения.
Первый способ основан на анализе получившейся системы.
Второй способ предполагает решение уравнения для всех значений параметра, и затем выбор нужных значений параметра.
Первый способ
Уравнение не имеет корней.
Следовательно, число \(\displaystyle x=p+3\) не удовлетворяет условию \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 2p{\small . }\)
Таким образом, утверждение \(\displaystyle p+3\, \cancel{=}\, 2p{\small }\) неверно.
Это значит, что \(\displaystyle p+3=2p\small,\) \(\displaystyle p=3\small.\)
Второй способ
Решим уравнение для всех значений параметра.
Корнем уравнения может быть только число \(\displaystyle x=p+3{\small . }\)
Число \(\displaystyle x=p+3\) является корнем уравнения, если выполняется условие
\(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 2p{\small , }\)
или \(\displaystyle p+3\, \cancel{=}\, 2p{\small ,}\)
\(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 3{\small .}\)
Таким образом,
- при \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 3{\small }\) уравнение имеет ровно один корень, \(\displaystyle x=p+3{\small . }\)
- при \(\displaystyle p = 3{\small }\) число \(\displaystyle x=p+3\) не является корнем уравнения, уравнение не имеет корней.
Это значит, что уравнение не имеет корней при \(\displaystyle p=3\small.\)
Ответ: \(\displaystyle p =3{ \small .} \)