Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle \frac{x^2 - 9x + 18}{ x - p} =0 \)
имеет ровно один корень.
Если таких значений нет, то оставьте оба поля ввода пустыми.
Если такое значение одно, то оставьте второе поле ввода пустым.
Уравнение
\(\displaystyle \frac{x^2 - 9x + 18}{ x - p} =0 \)
дробно-рациональное.
Воспользуемся правилом.
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Значит,
\(\displaystyle \begin{cases} x^2 - 9x + 18=0{\small , } \\ x-p\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{cases} x=3{\small , } \ x=6{\small , } \\ x\, \cancel{=}\, p{\small . }\end{cases}\)
Далее рассмотрим два способа решения.
Первый способ основан на анализе получившейся системы.
Второй способ предполагает решение уравнения для всех значений параметра, и затем выбор нужных значений параметра.
Первый способ
Уравнение имеет ровно один корень.
Значит, одно из чисел \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 6\) является корнем, а другое не является.
Это возможно в двух случаях:
- число \(\displaystyle x=3\) не удовлетворяет условию \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, p{\small , }\) тогда \(\displaystyle p=3\small;\)
- число \(\displaystyle x=6\) не удовлетворяет условию \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, p{\small , }\) тогда \(\displaystyle p=6\small.\)
Это значит, что \(\displaystyle p=3\small\) или \(\displaystyle p=6\small.\)
Второй способ
Решим уравнение для всех значений параметра.
Корнем уравнения могут быть только числа \(\displaystyle x=3{\small }\) и \(\displaystyle x=6{\small .}\)
Число \(\displaystyle x=3\) является корнем уравнения, если выполняется условие \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, p{\small ,}\) то есть при \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 3{\small . }\)
Число \(\displaystyle x=6\) является корнем уравнения, если выполняется условие \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, p{\small ,}\) то есть при \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 6{\small . }\)
При \(\displaystyle p = 3{\small }\) число \(\displaystyle x=3\) не удовлетворяет условию \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, p{\small ,}\) а значит, не является корнем; уравнение имеет один корень \(\displaystyle x=6{\small .}\)
При \(\displaystyle p = 6{\small }\) число \(\displaystyle x=6\) не удовлетворяет условию \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, p{\small ,}\) а значит, не является корнем; уравнение имеет один корень \(\displaystyle x=3{\small .}\)
При \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 3{\small , }\) \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 6{\small }\) уравнение имеет два различных корня \(\displaystyle x=3{\small }\) и \(\displaystyle x=6{\small .}\)
Таким образом,
- при \(\displaystyle p\, \cancel{=}\, 3{\small ,}\ p\, \cancel{=}\, 6{\small }\) уравнение имеет ровно два корня, \(\displaystyle x=3{\small }\) и \(\displaystyle x=6{\small ;}\)
- при \(\displaystyle p = 3{\small }\) уравнение имеет ровно один корень, \(\displaystyle x=6{\small ;}\)
- при \(\displaystyle p = 6{\small }\) уравнение имеет ровно один корень, \(\displaystyle x=3{\small .}\)
Это значит, что уравнение имеет ровно один корень при \(\displaystyle p=3\small \) и \(\displaystyle p=6\small.\)
Ответ: \(\displaystyle p_1=3\small,\) \(\displaystyle p_2=6\small.\)