Дроби
\(\displaystyle \frac{a}{a^2-4}\) и \(\displaystyle \frac{a}{a^2+2a}\)
привели к общему знаменателю.
Из четырёх вариантов ответа только один является верным. Укажите его.
1. Найдём общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{a}{a^2-4}\) и \(\displaystyle \frac{a}{a^2+2a} \small.\)
Для этого разложим знаменатели дробей на множители.
- Знаменатель первой дроби \(\displaystyle a^2-4 = (a-2)(a+2) \small.\)
- Знаменатель второй дроби \(\displaystyle a^2+2a = a(a+2) \small.\)
В общий знаменатель берём различные множители знаменателей в наибольших степенях, то есть:
\(\displaystyle a-2, \,\,a+2\) и \(\displaystyle a \small.\)
Получаем общий знаменатель:
\(\displaystyle (a-2) \cdot (a+2) \cdot a = \color{magenta} {a(a-2)(a+2)} \small.\)
2. Приведём каждую из дробей к знаменателю \(\displaystyle a(a-2)(a+2) \small.\)
Имеем дроби \(\displaystyle \frac{a}{(a-2)(a+2)}\) и \(\displaystyle \frac{a}{a(a+2)} \small.\)
- Чтобы из дроби \(\displaystyle \frac{a}{(a-2)(a+2)}\) получить дробь со знаменателем \(\displaystyle a(a-2)(a+2)\small,\) надо знаменатель, а значит, и числитель дроби домножить на \(\displaystyle \color{0066ff}{a}\small{:}\)
\(\displaystyle \frac{a}{(a-2)(a+2)} = \frac {a \cdot \color{0066ff}{a}} {(a-2)(a+2) \cdot \color{0066ff}{a}} = \frac{a^2} {a(a-2)(a+2)} \small.\)
- Чтобы из дроби \(\displaystyle \frac{a}{a(a+2)}\) получить дробь со знаменателем \(\displaystyle a(a-2)(a+2)\small,\) надо знаменатель, а значит, и числитель дроби домножить на \(\displaystyle \color{009900}{(a-2)}\small{:}\)
\(\displaystyle \frac{a}{a(a+2)} = \frac {a \cdot \color{009900}{(a-2)}} {a(a-2) \cdot \color{009900}{(a-2)}} = \frac{a^2-2a} {a(a-2)(a+2)} \small.\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{a}{a^2-4} = \frac{a^2} {a(a-2)(a+2)} \) и \(\displaystyle \frac{a}{a^2+2a} = \frac{a^2-2a} {a(a-2)(a+2)} \small.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{a^2} {a(a-2)(a+2)} \) и \(\displaystyle \frac{a^2-2a} {a(a-2)(a+2)} \small.\)