Теория: Приведение дробей к общему знаменателю - 2

1. Найдём общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{xy}{x^2+4xy+4y^2}\) и \(\displaystyle \frac{x^2}{x^2-4y^2}\small.\)

Для этого разложим знаменатели дробей на множители.

• Знаменатель первой дроби \(\displaystyle x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2 \small.\)
• Знаменатель второй дроби \(\displaystyle x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y) \small.\)

В общий знаменатель берём различные множители знаменателей в наибольших степенях, то есть:

\(\displaystyle (x+2y)^2\) и \(\displaystyle x-2y\small.\)

Получаем общий знаменатель:

\(\displaystyle (x+2y)^2\cdot (x-2y) = \color{magenta} {(x+2y)^2(x-2y)} \small.\)

2. Приведём каждую из дробей к знаменателю \(\displaystyle (x+2y)^2(x-2y) \small.\)
 

Имеем дроби \(\displaystyle \frac{xy}{(x+2y)^2}\) и \(\displaystyle \frac{x^2}{(x-2y)(x+2y)}\small.\)

• Чтобы из дроби \(\displaystyle \frac{xy}{(x+2y)^2}\) получить дробь со знаменателем \(\displaystyle (x+2y)^2(x-2y) \small,\) 

надо знаменатель, а значит, и числитель дроби домножить на \(\displaystyle \color{0066ff}{(x-2y)}\small{:}\)

\(\displaystyle \frac{xy}{(x+2y)^2} = \frac {xy \cdot \color{0066ff}{(x-2y)}} {(x+2y)^2 \cdot \color{0066ff}{(x-2y)}} = \frac{x^2y-2xy^2} {(x+2y)^2(x-2y)} \small.\)

• Чтобы из дроби \(\displaystyle \frac{x^2}{(x-2y)(x+2y)}\) получить дробь со знаменателем \(\displaystyle (x+2y)^2(x-2y)\small,\) 

надо знаменатель, а значит, и числитель дроби домножить на \(\displaystyle \color{009900}{(x+2y)}\small{:}\)

\(\displaystyle \frac{x^2}{(x-2y)(x+2y)} = \frac {x^2 \cdot \color{009900}{(x+2y)}} {(x-2y)(x+2y) \cdot \color{009900}{(x+2y)}} = \frac{x^3+2x^2y} {(x+2y)^2(x-2y)} \small.\)

Таким образом, 

\(\displaystyle \frac{xy}{x^2+4xy+4y^2} = \frac{x^2y-2xy^2} {(x+2y)^2(x-2y)}\) и \(\displaystyle \frac{x^2}{x^2-4y^2} = \frac{x^3+2x^2y} {(x+2y)^2(x-2y)}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{x^2y-2xy^2} {(x+2y)^2(x-2y)}\) и \(\displaystyle \frac{x^3+2x^2y} {(x+2y)^2(x-2y)}\small.\)