Упростите выражение:
1. Разложим знаменатели дробей на множители:
\(\displaystyle \frac{y + 10}{4y + 12} - \frac{3}{y} + \frac{8y + 45}{4y^2 + 12y} = \frac{y + 10}{4(y + 3)} - \frac{3}{y} + \frac{8y + 45}{4y(y + 3)} {\small .}\)
Заметим, что ни одну из дробей нельзя сократить.
2. Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle 4y(y + 3){\small :}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}& \frac{y + 10}{4(y + 3)} - \frac{3}{y} + \frac{8y + 45}{4y(y + 3)} =\\ \\& \qquad\qquad\qquad = \frac{(y + 10) \cdot y}{4y(y + 3)} - \frac{3 \cdot 4(y + 3)}{4y(y + 3)} + \frac{8y + 45}{4y(y + 3)} =\\ \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad = \frac{y(y + 10) - 12(y + 3) + (8y + 45)}{4y(y + 3)} {\small .}\end{aligned} \)
3. В числителе раскроем скобки и приведём подобные. Получим:
\(\displaystyle \frac{y^2 + 6y + 9}{4y(y + 3)} {\small .}\)
4. Упростим полученную дробь.
Поскольку \(\displaystyle y^2 + 6y + 9 = y^2 + 2 \cdot 3 \cdot y + 3^2 = (y + 3)^2{\small ,}\) то
\(\displaystyle \frac{y^2 + 6y + 9}{4y(y + 3)} = \frac{(y + 3)^2}{4y(y + 3)}= \frac{(y + 3) \cancel{(y + 3)}}{4y\cancel{(y + 3)}} = \color{ff33ff}{\frac{y + 3}{4y}}{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{y + 3}{4y}{\small .}\)