Упростите выражение:
1. Разложим знаменатели дробей на множители:
\(\displaystyle \frac{4x^2 + 9y^2}{4x^2 - 9y^2} - \frac{3y}{2x + 3y} + \frac{3y}{3y - 2x}= \frac{4x^2 + 9y^2}{(2x + 3y)(2x - 3y)} - \frac{3y}{2x + 3y} + \frac{3y}{3y - 2x}{\small.}\)
Выражения \(\displaystyle (2x - 3y)\) и \(\displaystyle (3y - 2x)\) отличаются только знаком. Тогда
\(\displaystyle \frac{3y}{3y - 2x} = \frac{3y}{-(2x - 3y)} = -\frac{3y}{2x - 3y}{\small.}\)
Перепишем исходное выражение:
\(\displaystyle \frac{4x^2 + 9y^2}{(2x + 3y)(2x - 3y)} - \frac{3y}{2x + 3y} - \frac{3y}{2x - 3y}{\small.}\)
2. Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle (2x + 3y)(2x - 3y){\small:}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}&\frac{4x^2 + 9y^2}{(2x + 3y)(2x - 3y)} - \frac{3y}{2x + 3y} - \frac{3y}{2x - 3y} =\\\\ &\qquad \qquad= \frac{4x^2 + 9y^2}{(2x + 3y)(2x - 3y)} - \frac{3y(2x - 3y)}{(2x + 3y)(2x - 3y)} - \frac{3y(2x + 3y)}{(2x + 3y)(2x - 3y)} =\\\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \frac{4x^2 + 9y^2 -3y(2x - 3y) - 3y(2x + 3y)}{(2x + 3y)(2x - 3y)}{\small .}\end{aligned}\)
3. В числителе раскроем скобки и приведём подобные. Получим:
\(\displaystyle \frac{4x^2 - 12xy + 9y^2}{(2x + 3y)(2x - 3y)}{\small .}\)
4. Упростим полученную дробь.
Поскольку \(\displaystyle 4x^2 - 12xy + 9y^2= (2x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4y + (3y)^2 = (2x - 3y)^2{\small ,}\) то
\(\displaystyle \frac{4x^2 - 12xy + 9y^2}{(2x + 3y)(2x - 3y)} = \frac{(2x - 3y)^2}{(2x - 3y)(2x - 3y)} = \frac{\cancel{(2x - 3y)}(2x - 3y)}{\cancel{(2x - 3y)}(2x + 3y)}= \frac{2x - 3y}{2x + 3y}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{2x - 3y}{2x + 3y}{\small.}\)