Упростите выражение:
1. Разложим знаменатели дробей на множители:
\(\displaystyle \frac{y}{y - 6} - \frac{3}{y + 6} + \frac{y^2}{36 - y^2} = \frac{y}{y - 6} - \frac{3}{y + 6} + \frac{y^2}{(6 - y)(6 + y)} {\small.}\)
Выражения \(\displaystyle (y - 6)\) и \(\displaystyle (6 - y)\) отличаются только знаком. Тогда
\(\displaystyle \frac{y^2}{(6 - y)(6 + y)} = \frac{y^2}{-(y - 6)(6 + y)} = -\frac{y^2}{(y - 6)(y + 6)} {\small.}\)
Подставляя полученную дробь вместо третьей в исходное выражение, получим:
\(\displaystyle \frac{y}{y - 6} - \frac{3}{y + 6} - \frac{y^2}{(y - 6)(y + 6)} {\small.}\)
2. Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle (y - 6)(y + 6){\small:}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}&\frac{y}{y - 6} - \frac{3}{y + 6} - \frac{y^2}{(y - 6)(y + 6)} =\\\\ &\qquad \qquad \qquad= \frac{y(y + 6)}{(y - 6)(y + 6)} - \frac{3(y - 6)}{(y - 6)(y + 6)} + \frac{y^2}{(y - 6)(y + 6)} =\\\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad= \frac{y(y + 6) -3(y - 6) - y^2}{(y - 6)(y + 6)}{\small .}\end{aligned}\)
3. В числителе раскроем скобки и приведём подобные. Получим:
\(\displaystyle \frac{3y +18}{(y - 6)(y + 6)}{\small.}\)
4. Упростим полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{3y +18}{(y - 6)(y + 6)} = \frac{3\cancel{(y + 6)}}{(y + 6)\cancel{(y + 6)}} = \frac{3}{y + 6}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{3}{y + 6}{\small.}\)