Упростите выражение:
1. Разложим знаменатели дробей на множители:
\(\displaystyle \frac{x - 2}{4x + 8} - \frac{x + 2}{4x - 8} + \frac{4}{x^2 - 4} =\frac{x-2}{4(x + 2)} - \frac{x + 2}{4(x - 2)} + \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} {\small.}\)
Заметим, что ни одну из полученных дробей нельзя сократить.
2. Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle 4(x - 2)(x + 2){\small:}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}&\frac{x-2}{4(x + 2)} - \frac{x + 2}{4(x - 2)} + \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} =\\\\ &\qquad \qquad \qquad= \frac{(x-2)(x - 2)}{4(x - 2)(x + 2)} - \frac{(x + 2)(x + 2)}{4(x - 2)(x + 2)} + \frac{4 \cdot 4}{4(x - 2)(x + 2)} =\\\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad= \frac{(x-2)^2 - (x + 2)^2 + 16}{4(x - 2)(x + 2)}{\small .}\end{aligned}\)
3. В числителе раскроем скобки и приведём подобные. Получим:
\(\displaystyle \frac{-8x + 16}{4(x - 2)(x + 2)} {\small .}\)
4. Упростим полученную дробь.
\(\displaystyle \frac{-8x + 16}{4(x - 2)(x + 2)} = \frac{-8\cancel{(x - 2)}}{4\cancel{(x - 2)}(x + 2)} = \frac{-2}{x + 2} = -\frac{2}{x + 2} {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{2}{x + 2} {\small.}\)