Упростите выражение:
\(\displaystyle \frac{2a}{a+1} + 1= \frac{3a + 1}{a+1}{\small .}\)
Представим число \(\displaystyle 1\) в виде дроби со знаменателем \(\displaystyle a+1{\small :}\)
\(\displaystyle 1=\frac{a+1}{a+1}{\small }\)
и сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
\(\displaystyle \frac{2a}{a+1} + 1 = \frac{2a}{a+1} + \frac{a+1}{a+1} = \frac{2a + a + 1}{a+1} = \frac{3a + 1}{a+1}{\small .}\)
\(\displaystyle 1 - \frac{8a^2}{1-a^2}=\frac{1 - 9a^2}{1-a^2}{\small.}\)
3. Разделим первую полученную дробь на вторую, заменяя деление на дробь умножением на обратную дробь:
\(\displaystyle \frac{3a+1}{a+1} : \frac{1-9a^2}{1-a^2} = \frac{3a+1}{a+1} \cdot \frac{1-a^2}{1-9a^2}=\frac{(3a+1)(1-a^2)}{(a+1)(1-9a^2)} {\small .}\)
\(\displaystyle \frac{(3a+1)(1-a^2)}{(a+1)(1-9a^2)}=\frac{1-a}{1-3a} {\small .}\)
Разложим \(\displaystyle 1 - 9a^2\) и \(\displaystyle 1-a^2\) на множители по формуле разности квадратов:
- \(\displaystyle 1 - 9a^2 = (1-3a)(1+3a){\small .}\)
- \(\displaystyle 1-a^2 = (1-a)(1+a){\small .}\)
Теперь можем сократить дробь:
\(\displaystyle \frac{(3a+1)(1-a^2)}{(a+1)(1-9a^2)} =\frac{\color{Blue}{(3a+1)}(1-a)\color{Green}{(1+a)}}{\color{Green}{(a+1)}(1-3a)\color{Blue}{(1+3a)}}=\frac{1-a}{1-3a}{\small .}\)
Умножая числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle -1{\small ,}\) получим:
\(\displaystyle \frac{1-a}{1-3a}=\frac{a-1}{3a-1}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{a-1}{3a-1}{\small .}\)