Упростите выражение:
\(\displaystyle \cfrac{\cfrac{a+9}{a}-\cfrac{a}{a-9}}{\cfrac{a}{a+9}-\cfrac{a-9}{a}}{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{a+9}{a} - \frac{a}{a-9} = -\frac{81}{a(a-9)}{\small.}\)
Найдём разность \(\displaystyle \frac{a+9}{a} - \frac{a}{a-9}{\small.}\)
Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle a(a-9){\small:}\)
\(\displaystyle \frac{a+9}{a} - \frac{a}{a-9} = \frac{(a+9)(a-9) - a^2}{a(a-9)}{\small.}\)
В числителе раскроем скобки (воспользуемся формулой разности квадратов) и приведём подобные:
\(\displaystyle \frac{(a+9)(a-9) - a^2}{a(a-9)}=\frac{a^2 - 81 - a^2}{a(a-9)}=\frac{-81}{a(a-9)}{\small.}\)
\(\displaystyle \cfrac{a}{a+9}-\cfrac{a-9}{a}=\frac{81}{a(a+9)}{\small.}\)
3. Подставим полученные выражения в числитель и знаменатель исходной дроби.
Дробную черту заменим знаком деления:
\(\displaystyle -\frac{81}{a(a-9)}:\frac{81}{a(a+9)}{\small.}\)
Заменим деление умножением на обратную дробь:
\(\displaystyle -\frac{81}{a(a-9)}:\frac{81}{a(a+9)}=-\frac{81}{a(a-9)} \cdot \frac{a(a+9)}{81}=-\frac{81a(a+9)}{81a(a-9)}{\small.}\)
Сократим дробь:
\(\displaystyle -\frac{81a(a+9)}{81a(a-9)}=-\frac{a+9}{a-9}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{a+9}{a-9}{\small.}\)